Способ итераций

В ряде случаев весьма удобным приемом решения уравнений является метод итераций (повторений). Для применения этого метода исходное уравнение нужно записывать в форме

х = φ (х) (1).

Пусть каким-либо способом выделен интервал [a, b] изоляции корня этого уравнения и x₀ – любая точка этого интервала (нулевое приближение). Для получения следующего приближения x1 в правую часть уравнения (1) вместо х подставляем значение x₀, так что

х₁ = φ (х₀).

Следующие приближения получаются по схеме

х₂ = φ (x₁),

х₃ = φ (x₂),

...

х_n = φ (x_n-1).

Если последовательность x₁, x₂, … x_n, … имеет предел , то х является корнем уравнения (1).

Поэтому одно из значений x_n с достаточно большим номером можно принять за приближенное значение корня. Однако может случиться, что последовательность x₁, x₂, … x_n, … не имеет предела и тогда метод итераций не приводит к цели.

Очень интересно выяснить условия, при которых итерационный процесс сходится. Для этого воспользуемся следующей теоремой.

Теорема

Пусть интервал [а, b] является интервалом изоляции корня уравнения х = φ (х) и во всех точках этого интервала производная φ '(х) удовлетворяет неравенству

|φ '(х)| ≤ M < 1 (2)

Если при этом выполняется условие a ≤ φ (x) ≤ b, то итерационный процесс сходится, причем за нулевое приближение x₀ можно брать любую точку интервала [а, b].

Пример

Решим методом итераций уравнение 4х-5*ln х = 5.

Решение

Записав уравнение в форме ln x = 4x-5 ищем " нулевое приближение" графически, находя пересечение логарифмической кривой с прямой y = 4/5x-1 (сделать самостоятельно). Находим два приближенных значения корня: х₀ = 2, 28 и x₀ = 0, 57, которые и принимаем за нулевое приближение.

Для более точного отыскания правого корня запишем уравнение в виде

х = φ (x) = 1, 25(1+ln х).

Итерационный процесс сходится, так как

φ ’(x) = (1, 25*1)’+(1, 25*ln x)’ = 0+1, 25*(ln x)’ = 1, 25*1/x = 1, 25/x,

что в окрестности правого корня положительно и меньше единицы:

φ ’(2, 28) = 1, 25/2, 28 = 0, 54824561403508771929824561403509 ≈ 0, 54825,

т. е.

|φ ’(2, 28)| ≈ |0, 54825| < 1.

Вычисления приведены в таб. 2.5.1:

Таблица 2.5.1.

Для отыскания корня с точностью до пяти знаков потребовалось восемь шагов. Такую скорость сходимости можно считать достаточно хорошей. Она объясняется, во-первых, тем, что производная вблизи корня достаточно мала (около 0, 55), а во-вторых, удачным выбором нулевого приближения.

При отыскании левого корня итерационный процесс оказывается расходящимся, потому что здесь:

φ ’(0.57) = 1, 25/0.57 = 2, 1929824561403508771929824561404 ≈ 2, 19298,

т. е.

|φ ’(0, 57)| ≈ |2, 19298| > 1,

поэтому первоначальное уравнение следует переписать иначе:

x = φ (x) = e^{0, 8x-1}.

Здесь производная тоже положительна и меньше единицы (около 0, 46), так что итерационный процесс сходится:

φ ’(x) = (e^{0, 8x-1})’ = (0, 8x-1)’_x*(e^u)’_u,

где u = u(x) = 0, 8x-1, т.е. φ [u(x)] – сложная функция, т. е.

φ ’(x) = (e^{0, 8x-1})’ = (0, 8x-1)’_x*(e^u)’_u = 0, 8*e^u = 0, 8*e^{0, 8x-1}.

φ ’(0, 57) = 0, 8*e^{0, 8*0, 57-1} = 0, 8*e^{-0, 544} = -0, 4352,

|φ ’(0, 57)| = |-0, 4352| < 1.

Как показывают вычисления, приведенные в таб. 2.5.2, для отыскания корня с точностью до пяти знаков после запятой требуется уже одиннадцать шагов. Такую скорость также можно считать достаточной. Здесь процесс сходится медленнее, чем в предыдущем случае, хотя производная и меньше.

Таблица 2.5.2.

Причиной замедления является менее удачный, чем ранее, выбор нулевого приближения. Если в первом случае нулевое приближение отличалось от истинного корня на величину порядка 10^-4, то во втором случае – на величину порядка 10^-2.