Численное решение уравнений. Метод половинного деления

При программировании желательно иметь программу, решающую не один какой-либо тип уравнений, а по возможности наиболее широкий класс уравнений. Естественно, что фактически выполнить это невозможно, не поступившись чем-нибудь. На практике для решения подобных задач используют так называемые численные методы решения. При этом полученное решение находится не точно, а с какой-либо заранее оговоренной точностью.

Рассмотрим один из численных методов решения уравнений – метод половинного деления. Этот метод имеет свои ограничения на применимость, и, прежде всего, он применим только к алгебраическим уравнениям одного неизвестного.

Причем F(х) – непрерывная на отрезке [а, b] функция, удовлетворяющая условию:

F(a)*F(b) < 0. (*)

Метод основан на том теоретическом факте, что всякое уравнение путем равносильных преобразований можно привести к виду:

F(x) = 0. (1)

При этом если изобразить график функции F(x), то кривая графика будет пересекать ось Ох в точке х, которая и будет являться корнем уравнения (рис. 2.3.1).

Рисунок 2.3.1.

Для нахождения корня отрезок [а, b] делится пополам (рис. 2.3.2):

Рисунок 2.3.2.

х_i = а+(b-а)/2 – и выбирается тот полуинтервал, на концах которого знаки F(х) разные.

Для определения знаков функции достаточно вычислить ее значение в точках a, x_i и b соответственно. Полученные значения сравниваются следующим образом:

1. Если одно из найденных значений равно нулю, т. е.

F(a) = 0 or F(x_i) = 0 or F(b) = 0,

то найден соответствующий корень уравнения. Процесс прекращается.

2. Если (F(a) > 0 end F(x_i) < 0) or (F(a) < 0 end F(x_i) > 0), то корень находится на отрезке [a, x_i].