Метод касательных (способ Ньютона)

Рассмотрим уравнение f(x) = 0. Возьмем некоторую точку с участка c [a, b] и проведем в точке [c, f(c)] графика функции касательную к этому графику (рис. 2.4.2). Уравнение касательной имеет вид: y-f(c) = f’(c)(x-c).

В качестве приближенного корня уравнения примем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Полагая в уравнении касательной y = 0, находим для абсциссы точки пересечения:

Рисунок 2.4.2.

Остается решить вопрос о выборе точки с.

На рисунке мы выбрали c = b. Обычно принимают c = a или c = b, смотря по тому в какой из этих точек знак функции совпадает со знаком второй производной, т. е. с выбирают так, чтобы произведение f(c)*f’’(c) > 0.

В этом случае можно гарантировать, что приближенное значение корня x₂, полученное по способу касательных, лежит на интервале [a, b].

Как и в способе хорд, значение x₂ можно использовать для дальнейшего уточнения корня, беря интервал [a, x₂] или [x₂, b].

Пример

Рассмотрим то же уравнение, что и для метода хорд: f(х) = х³-2x²+3x-5 = 0.

Интервал возьмем [1.8, 1.9]. Здесь

f’(х) = 3х²-4x+3 > 0,

f’’(х) = 6х-4 > 0.

Если принять c = a = 1.8, то:

f(c)*f’’(c) = (1.8³-2*1.8²+3*1.8-5)*(6*1.8-4) = (5.832-2*3.24+5.4-5)*6.8 = (-0.248)*6.8 = -38.4064 < 0.

Наоборот, если c = b = 1.9, то:

f(c)*f’’(c) = (1.9³-2*1.9²+3*1.9-5)*(6*1.9-4) = (6.859-2*3.61+5.7-5)*7.4 = 0.339*7.4 = 2.5086 > 0.

Так что касательную следует проводить в точке c = b = 1.9.

Формула (***) дает:

Т. к. f(1.846) = +0.0132, то на участке [1.8, 1.846] можно вновь применить метод касательных, полагая с = 1.846. Воспользовавшись формулой (***), получим:

Погрешность найденного значения не превышает (как и в примере) 0, 0001.