Выводы по теме. 1. При программировании желательно иметь программу, решающую не один какой-либо тип уравнений, а по возможности наиболее широкий класс уравнений

1. При программировании желательно иметь программу, решающую не один какой-либо тип уравнений, а по возможности наиболее широкий класс уравнений. Естественно, что фактически выполнить это невозможно, не поступившись чем-нибудь. На практике для решения подобных задач используют так называемые численные методы решения. При этом полученное решение находится не точно, а с какой-либо заранее оговоренной точностью.

2. Один из численных методов решения уравнений – метод половинного деления. Этот метод имеет свои ограничения на применимость, и, прежде всего, он применим только к алгебраическим уравнениям одного неизвестного. Причем F(х) – непрерывная на отрезке [а, b] функция, удовлетворяющая условию:

F(a)*F(b) < 0.

Метод основан на том теоретическом факте, что всякое уравнение путем равносильных преобразований можно привести к виду:

F(x) = 0.

При этом если изобразить график функции F(x), то кривая графика будет пересекать ось Ох в точке х, которая и будет являться корнем уравнения.

Вопросы для самокотроля

1. Для какого типа уравнений применим метод половинного деления?

2. Для чего нужна точность вычислений ε?

3. В чем заключается суть метода половинного деления?

4. Какому условию должна удовлетворять функция на интервале, если нам известно, что корень уравнения находится на этом интервале?

2.4.2. Численное решение уравнений: метод хорд

Идея способа хорд состоит в том, что можно с известным приближением допустить, что функция на достаточно малом участке [а, b] изменяется линейно. Тогда кривую у = f(х) на участке [а, b] можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс.

Для лучшего выяснения сути способа обратимся к чертежу (рис. 2.4.1):

Рисунок 2.4.1.

Построим график функции у = f(х) на участке [а, b]. Истинный корень уравнения f(x) = 0 есть абсцисса точки А, являющейся точкой пересечения кривой ММ' с осью абсцисс.

Заменив кривую ММ' хордой ММ', мы примем в качестве приближенного значения корня абсциссу точки В, в которой хорда пересекается с осью.

Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(a, f(a)) и M'(b, f(b)):

Абсцисса точки В, являющаяся приближенным корнем x₁ уравнения f(x) = 0, может быть найдена из уравнения прямой, если положить в нем у = 0. Тогда получим

или, иначе:

Уравнение рассматриваемой прямой можно записать и в таком виде:

Полагая здесь у = 0, придем к формуле

Очевидно, формулы (*) и (**) тождественны. Мы будем пользоваться той из них, которая окажется более удобной.

Полученное значение x₁ можно снова использовать для дальнейшего уточнения корня по способу хорд, рассматривая интервал [а, x₁] или же [x₁, b], смотря по тому, в каком из них лежит истинный корень. Чтобы определить это, находят знак f(x₁).

Пример

Найдем по способу хорд положительный корень уравнения f(х) = х³-2x²+3x-5 = 0.

В одной из предыдущих лекций нами был найден интервал изоляции корня для данного уравнения – [1.8, 1.9], к которому мы и применим способ хорд. Вычисление значений функции дает:

f(1.8) = -0.248,

f(1.9) = +0.339.

По формуле (**):

Вычислив значение функции при х = 1.842, находим f(1.842) = -0.01009 < 0. Отсюда видно, что истинный корень расположен в интервале [1.842, 1.9].

Снова применим к этому интервалу метод хорд и получим:

Вычисление значений функции дают:

f(1.8437) < 0,

f(1.8438) > 0.

Полагая значение корня х = 1.84375, видим, что погрешность полученного приближения меньше 0.00005.