О приближенных методах решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Итак, вспомним:

Определение

Равенство, содержащее неизвестные величины, называется уравнением.

Определение

Решить уравнение – значит, найти все такие выражения неизвестных, которые, будучи подставлены в уравнение вместо соответствующих неизвестных, обращают уравнение в тождество. Найденные выражения называются корнями уравнения.

Однако часто необходимо решить уравнение не точно, а приближенно. Т. е. определить некоторое приближенное значение корня уравнения с некоторой степенью точности. В таком случае говорят о численных методах решения. Нахождение этого решения можно вести различными способами. Однако при этом следует различать графические и аналитические методы численного решения уравнений.

Большинство употребляющихся приближенных способов решения уравнений являются, по существу, способами уточнения корней, т. е. для их применения необходимо знание примерных значений корня – первого приближения корня. Для нахождения такого первого приближения могут служить, например, графические способы.

Если же говорить об аналитических способах уточнения значений корней, то сразу подчеркнем, что все эти способы предполагают, что нам известен некоторый интервал [а, b], в котором лежит уточняемый корень уравнения – интервал изоляции корня уравнения.

К аналитическим способам решения можно отнести, например, метод половинного деления, способ хорд и касательных, комбинированный способ, метод итераций.

Графические способы решения

Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид

f(x) = 0.

Построим в декартовой системе координат схематический график функции y = f(х). Абсциссы точек пересечения построенной кривой с осью Ох дадут нам значения действительных корней уравнения (рис. 2.2.1):

Рисунок 2.2.1.

После того как схематический график построен и примерно выделены участки оси абсцисс, в которых будут лежать корни функции, мы приступим к уточнению значений корней. Для этого можно построить на выделенных участках график функции в более крупном масштабе, производя при этом более точное вычисление значений функции. Разумеется, при этом мы значительно точнее найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Графическое отыскание корня можно производить иначе. Допустим, что уравнение можно представить в виде

f₁(x) = f₂(x).

В этом случае строим графики функций у = f₁(x) и y = f₂(x); абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями уравнения (рис. 2.2.2):

Рисунок 2.2.2.

Итак, для приближенного решения трансцендентных уравнений наиболее часто применяются графические методы. При этом можно выделить два основных способа:

1. Уравнение имеет вид f(x) = 0.

В декартовой системе координат рисуем схематический график функции y = f(x) – абсциссы точек пересечения этой кривой с осью Ox – значения действительных корней уравнения x₁, x₂.

2. Уравнение f(x) = 0 представим в виде f₁(x) = f₂(x).

Абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями уравнения.

Пример

Найдем приближенно корни уравнения x-sin x-1 = 0, записав это уравнение в виде x-1 = sin x.

Построим графики синусоиды y = sin x и прямой у = х-1 (рис. 2.2.3). Точка пересечения этих линий имеет абсциссу х ≈ 1, 9, что можно считать грубым приближением значения корня.

Рисунок 2.2.3.