Общие сведения об уравнениях

Определение

Равенство, содержащее неизвестные величины, называется уравнением.

Определение

Решить уравнение – значит, найти все такие выражения неизвестных, которые, будучи подставлены в уравнение вместо соответствующих неизвестных, обращают уравнение в тождество. Найденные выражения называются корнями уравнения.

Пример

2*x-2 = 0 – уравнение с одним неизвестным х. При х = 1 выражение образует тождество, т. е. дает одно и то же число; Следовательно, х = 1 есть корень уравнения.

2.1.3. Зачем нужны уравнения?

Вычислительные задачи бывают прямые и косвенные.

Вот пример прямой задачи:

Сколько весит кусок сплава, на изготовление которого пошло 0, 6 дм³ меди (уд. вес 8, 9 кг/дм³) и 0, 4 дм³ цинка (уд. вес 7, 0 кг/дм³)?

При ее решении мы находим вес взятой меди (8, 9-0, 6 = 5, 34 (кг)), затем вес цинка (7, 0-0, 4= 2, 8 (кг)) и, наконец, вес сплава (5, 34+2, 8 = 8, 14 (кг)). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.

Вот пример косвенной задачи:

Кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8, 14 кг. Найти объемные количества меди и цинка в этом сплаве.

Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Суть этого метода такова:

1. Искомые величины получают особые обозначения. Мы пользуемся для этой цели буквенными знаками (предпочтительно последними строчными буквами латинского алфавита х, у, r, u, V). Условие задачи с помощью этих знаков и знаков действий " переводится на математический язык", т. е. связи между данными и искомыми величинами мы выражаем не словами и фразами разговорного языка, а математическими знаками. Каждая такая " математическая фраза" и есть уравнение.

2. После этого мы решаем уравнение, т. е. находим значения искомых неизвестных величин. Решение уравнения производится совершенно механически, по общим правилам. Нам не приходится больше учитывать особенности данной задачи; мы только должны применять раз и навсегда установленные правила и приемы (выводом этих правил и занимается в первую очередь алгебра).

Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать труд вычислителя. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически. Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.

2.1.4. Как составлять уравнения?

Составить уравнение – значит выразить в математической форме связь между данными (известными) задачи и искомыми (неизвестными) ее величинами.

Иногда эта связь настолько явно содержится в формулировке задачи, что составление уравнения есть просто дословный пересказ задачи на языке математических знаков.