Примеры. 1. Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых

1. Дано число 45, 769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 6 ≥ 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет – 45, 8.

Примечание. Ясно, что абсолютная погрешность округления в данном случае будет 45, 8-45, 769=0, 031. Если бы мы не следовали правилу округления №1 и, например, округлили бы наше точное число до 45, 7, просто отбросив " ненужные" цифры, то абсолютная погрешность округления была бы уже 45, 769-45, 7=0, 069. Т. е. погрешность бы возросла. И сильно!

2. Дано число 5, 165, которое нужно округлить до сотых. Первая отбрасываемая цифра – 5 = 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (6) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет – 5, 17.

Правило №2

Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.

Пример

Дано число 45, 749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 4< 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) не усиливается, т. е. округленное число будет – 45, 7.

Правило №3

Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если – нечетная.

Примеры

1. Округляя число 0, 0465 до третьего десятичного знака, пишем – 0, 046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) – четная.

2. Округляя число 0, 0415 до третьего десятичного знака, пишем – 0, 042. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) – нечетная.

Примечание. Применяя правило №3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем и не уменьшаем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться столь же часто, как и недостаточные. Взаимная компенсация погрешностей обеспечит наибольшую точность результата. При этом, вообще говоря, правило №3 можно изменить и применять округление на ближайшее четное число – точность будет той же.

Погрешности приближенных вычислений

Понятие о погрешности приближения

Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.

Определение

Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее).

Пример

При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.