Интервал изоляции корня уравнения

Определение

Интервал [а, b] является интервалом изоляции корня, если его (интервал [а, b]) можно считать настолько малым, что на нем лежит в точности один корень исходного уравнения.

Выбор этого интервала производится на основании известного свойства непрерывных функций: если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и на его концах имеет различные знаки, f(a)*f (b) < 0, то между точками а и b имеется хотя бы один корень уравнения f(x) = 0.

Сужение интервала изоляции можно производить самым простым образом. Выбираем какую-либо точку с, лежащую внутри интервала (обычно за точку с принимают середину рассматриваемого интервала или близкую к ней точку, в которой удобнее вычислять значение функции), и вычисляем значение f(c). В качестве нового интервала изоляции мы примем ту из двух половинок интервала [а, b] на концах которой функция имеет разные знаки.

Таким путем можно как угодно сузить участок, на котором находится корень, т. е. получить приближенное значение корня с любой степенью точности. Вместе с тем мы получаем здесь и оценку точности приближенного решения (корень заключен между концами очередного участка). Однако, несмотря на принципиальную простоту, такое последовательное сужение участка на практике не всегда проводится, ибо требует большого количества вычислений.

Нахождение интервала изоляции можно производить различными способами. Рассмотрим небольшой пример.

Пример 1

Пусть требуется найти интервал изоляции положительного корня уравнения x³-2x²+3x-5 = 0.

Возьмем несколько произвольных точек по оси Ох и, прежде всего, определим знаки функции в этих точках:

Из таблицы видно, что функция меняет знак на интервале [1, 2]. Однако этот интервал слишком велик. Произведем сужение интервала, для чего снова рассмотрим знаки функции в некоторых произвольных точках, но уже принадлежащих найденному интервалу изоляции:

Т. е. дальнейшее сужение интервала дает нам новый интервал изоляции – [1.8, 1.9].

Однако такой способ обладает одним очень плохим свойством. А именно, слишком произвольно выбираются точки для тестирования и далеко не всегда сразу быстро можно попасть на интервал изоляции. Наиболее удобен графический способ отыскания интервала изоляции.

Пример 2

Найдем интервал изоляции корня уравнения:

х³+x²-1 = 0.

Для этого представим уравнение в виде:

х³ = 1-x²,

т. е. f(x) = x³ и g(x) = 1-x².

Строим приближенные графики функций f(x) и g(x):

Рисунок 2.2.4.

Из графика видно, что точка пересечения двух функций, а значит и корень уравнения находится на интервале [0, 1].

А если захотим сузить интервал, то достаточно применить любой из аналитических методов численного решения уравнения.