Определение. Сеточной функцией y = yj = y(xj) называется функция, заданная в узлах сетки.

Сеточной функцией y = y_j = y(x_j) называется функция, заданная в узлах сетки.

Пусть дано дифференциальное уравнение

Обозначим

Назовем такой объект дифференциальным оператором.

Заменим L(u) в узле сетки x_i линейной комбинацией значений сеточной функции y_i на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая замена L(u) на L_h(y_h) называется аппроксимацией на сетке дифференциального оператора L разностным оператором L_h.

Замена непрерывной функции f(x, u) в узлах сетки на сеточную функцию j(x_h, y_h) называется аппроксимацией правой части.

Таким образом, дифференциальное уравнение можно аппроксимировать (заменить) на сетке разностной схемой L_h(y_h) = j(x_h, y_h).

Например, аппроксимация дифференциального уравнения

может выглядеть следующим образом:

Здесь левая часть (дифференциальный оператор) заменен разностным оператором, несколько аналогичным с формулой Лагранжа для численного дифференцирования:

А правая часть аппроксимируется той же функцией f, но вычисленной в узлах сетки аппроксимации.