Пример 1. Положим n = 1. В этом случае мы имеем две точки, и интерполяционная формула Лагранжа дает уравнение прямой

Положим n = 1. В этом случае мы имеем две точки, и интерполяционная формула Лагранжа дает уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁):

Пример 2

Пусть n = 2 и имеем три точки (x₀, y₀), (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

Интерполяционная формула Лагранжа дает уравнение параболы, проходящей через три заданные точки:

т. е. P(x) = [(x-1)(x-2)]/[(0-1)(0-2)]*1+[(x-0)(x-2)]/[(1-0)(1-2)]*1+[(x-0)(x-1)]/[(2-0)(2-1)]*3 = [(x-1)(x-2)]/[(-1)(-2)]*1+[(x-0)(x-2)]/[1*(-1)]*1+[(x-0)(x-1)]/[2*1]*3 = 1/2(x-1)(x-2)-(x-0)(x-2)+3/2(x-0)(x-1) = 1/2(x²-2x-x+2)-(x²-2x-0*x+0*2)+3/2(x²-x-0*x+0*1) = 1/2(x²-3x+2)-(x²-2x)+3/2(x²-x) = 1/2x²-3/2x+2/2-x²+2x+3/2x²-3/2x = (1/2x²-2/2x²+3/2x²)+(-3/2x+4/2x-3/2x)+2/2 = (1/2-2/2+3/2)x²+(-3/2+4/2-3/2)x+2/2 = 2/2x²+(-2/2)x+2/2 = 1*x²+(-1)*x+1 = x²-x+1,

т. е. P(x) = x²-x+1.

Метод интерполяции Ньютона

Другой подход – метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома P_n, аппроксимирующую функцию P(x):

P(x) = P(x₀)+(x-x₀)P(x₀, x₁)+(x-x₀)(x-x₁)P(x₀, x₁, x₂)+…+(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)P(x₀, x₁, …, x_n),

где

P(x₀, x₁) = [P(x₀)-P(x₁)]/[x₀-x₁] – разделённая разность 1-го порядка;

P(x₀, x₁, x₂) = [P(x₀, x₁)-P(x₁, x₂)]/[x₀-x₂] – разделённая разность 2-го порядка и т. д.

Значения P_n(x) в узлах совпадают со значениями y = P(x).

Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.