Ссылки на дополнительные материалы (печатные и электронные ресурсы)

Основные:

1. Гутер Р. С. Овчинский Б. В. Элементы численного анализа и математической статистики.

2. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование MatLab. – М.: Изд. дом " Вильямс", 2001.

Экстраполяция

Выше были приведены примеры применения интерполяционных формул для отыскания значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице.

Эти же формулы могут быть использованы и для отыскания значений функции, соответствующих значениям аргумента, находящимся вне пределов таблицы, т. е. для экстраполяции.

Определение

Экстраполяцию можно определить, как отыскание значений таблично заданной функции, соответствующих значениям аргумента, находящимся вне пределов таблицы.

Применение интерполяционных формул для экстраполяции

Применение интерполяционных формул для экстраполяции ничем не отличается от рассмотренного в предыдущих примерах. Единственным различием является то, что при интерполировании по первой формуле Ньютона значение t оказывается положительным, а при экстраполировании – отрицательным. Для второй формулы Ньютона, наоборот, при интерполировании значение t отрицательно, а при экстраполяции – положительно.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Отметим, что экстраполяция, вообще говоря, дает большие ошибки, нежели интерполяция, и пределы ее применения ограничены.

Пример

Например, дана таблица значений функции y = sin x с шагом 5^o с точностью до шести знаков в пределах от 15^o до 55^o (???). Вычислить значения sin x для углов от 10^o до 15^o через 1^o.

Разности мы записали в диагональную таблицу, ограничиваясь четвертыми, хотя они и не очень малы. Причем:

х₀ = 15,

y₀ = 0, 258819,

Дy₀ = 0, 083201,

Д²y₀ = -0, 002603,

Д³y₀ = -0, 00613,

Д⁴y₀ = 0, 000023.

Результаты вычислений приведены в???.

Вычисления велись в целых единицах шестого знака, причем во всех промежуточных выкладках сохранялся лишний знак, округляемый в окончательном результате. Сравнение с таблицей синусов показывает, что вычисленные значения синусов для углов 14^o, 13^o и 12^o оказываются точными до шести знаков. Для угла 11° получились ошибки на две, а для угла 10^o – на три единицы шестого знака. Эти ошибки объясняются тем, что для больших по абсолютной величине значений t нельзя было уже пренебрегать разностями более высокого порядка. Экстраполяция по второй интерполяционной формуле Ньютона производится точно так же. Что касается формулы Лагранжа, то для вычисления значения функции при любом x, т. е. и для интерполирования и для экстраполирования, требуется только подставить в формулу соответствующее значение аргумента.