Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Полиномы Чебышева. Критерии согласия данного метода – минимизация максимальной ошибки.






Критерии согласия данного метода – минимизация максимальной ошибки.

Полиномы Чебышева определяются следующим образом: Tn(x) = cos (n*arccos x).

Например:

T0(x) = cos 0 = 1;

T1(x) = cos θ = x;

T2(x) = cos 2θ = cos2 θ -sin2 θ = 2x2-1.

Можно было бы и дальше использовать тригонометрические соотношения для нахождения полиномов Чебышева любого порядка, но будет лучше установить для них рекурентное соотношение, связывающее Tn+1(x), Tn (x) и Tn-1(x):

Tn+1(x) = cos (nθ +θ) = cos nθ *cos θ +sin nθ *sin θ;

Tn-1(x) = cos (nθ -θ) = cos nθ *cos θ -sin nθ *sin θ.

Складывая эти неравенства, получим:

Tn+1(x)+Tn-1(x) = 2cos nθ *cos θ = 2xTn (x);

Tn+1(x) = 2xTn (x)-Tn-1(x).

Применяя полученные формулы можно найти любой полином Чебышева. Например, Т3(x) = 2xT2(x)-T1(x). Подставляя значения T2(х) и Т1(х), имеем Т3(х) = 2х(2х2-1)-х = 4х3-3х. Графически первые 10 полиномов Чебышева изображены ниже. Последующие полиномы по-прежнему колеблются между +1 и -1, причём периоды колебания уменьшаются с ростом порядка полинома.

Преобразования θ = arccos (x) можно рассматривать как проекцию пересечения полукруга с множеством прямых, имеющих равные углы между собой (рис. 5.1.1).

Рисунок 5.1.1.

Таким образом, множество точек xj, на котором система чебышевских многочленов Tn(x) ортогональна, таково:

x = cos (π *j/N), j = 0, 1, 2, …, N-1).

Так как Tn(x) есть, по существу, cos nθ, то они являются равноколеблющимеся функциями, и так как они многочлены, то обладают всеми свойствами ортогональных многочленов.

Чебышев показал, что из всех многочленов Рn(x) степени n старшим коэффициентом 1, у многочлена Tn(x)/2n-1 точная верхняя грань абсолютных значений на интервале -1 ≤ x ≤ 1 наименьшая. Так как верхняя грань Tn(x) = 1, указанная верхняя грань равна 1/2n-1.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал