Метод прямоугольников. Этот метод предполагает равномерное разбиение отрезка [a; b] на n равных частей длины Di = с выбором точек xi в серединах интервалов

D_i =

x_i = (0 £ i £ n–1)

Если обозначить f(x_i) = f_i+1/2 , то заменив интеграл n- й интегральной суммой, получим формулу прямоугольников:

.

Её название связано с прямоугольниками, т.к. она заменяет значение интеграла суммой площадей n прямоугольников с одним основанием и высотами f_1/2, …, f_n–1/2 (см. рисунок).

Для того чтобы осмысленно применять эту формулу, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [x_i; x_i+1] можно воспользоваться формулой Тейлора:

f(x) = f(x_i) + f¢ (x_i)·(x – x_i) + ·(x – x_i)²,

где l лежит между x и x_i и зависит от x. Интегрируя по x в отрезке [x_i; x_i+1], получим

,

причём среднее слагаемое в правой части равно нулю:

,

где D = x_i+1 – x_i. Значит, , причём

,

где M_i = max{|f¢ ¢ (x)| | x_i £ x £ x_i+1 }.

Таким образом,

где M = |f¢ ¢ (x)|.

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности e из неравенства находить число n: n > и D = , а затем применять формулу прямоугольников .

Пример. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл .

Оцениваем вторую производную подынтегральной функции:

,

т.к. 3·x² – 1 £ 3·1² – 1 = 2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 13. Теперь пользуемся методом прямоугольников:

Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением » 0, 785398, получим

| – I |» |0, 785398 – 0, 785521|» 0, 000123 < 0, 001,

что и требовалось.