Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод прямоугольников. Этот метод предполагает равномерное разбиение отрезка [a; b] на n равных частей длины Di = с выбором точек xi в серединах интервалов
Этот метод предполагает равномерное разбиение отрезка [a; b] на n равных частей длины Di = с выбором точек xi в серединах интервалов [xi; xi+1]: xi = (0 £ i £ n–1).
Если обозначить f(xi) = fi+1/2 , то заменив интеграл n- й интегральной суммой, получим формулу прямоугольников: . Её название связано с прямоугольниками, т.к. она заменяет значение интеграла суммой площадей n прямоугольников с одним основанием и высотами f1/2, …, fn–1/2 (см. рисунок). Для того чтобы осмысленно применять эту формулу, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [xi; xi+1] можно воспользоваться формулой Тейлора: f(x) = f(xi) + f¢ (xi)·(x – xi) + ·(x – xi)2, где l лежит между x и xi и зависит от x. Интегрируя по x в отрезке [xi; xi+1], получим , причём среднее слагаемое в правой части равно нулю: , где D = xi+1 – xi. Значит, , причём , где Mi = max{|f¢ ¢ (x)| | xi £ x £ xi+1 }. Таким образом, где M = |f¢ ¢ (x)|. Полученная оценка позволяет по заданной погрешности e из неравенства находить число n: n > и D = , а затем применять формулу прямоугольников . Пример. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл . Оцениваем вторую производную подынтегральной функции: , т.к. 3·x2 – 1 £ 3·12 – 1 = 2, . Вычисляем n > , т.е. n = 13. Теперь пользуемся методом прямоугольников: Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением » 0, 785398, получим | – I |» |0, 785398 – 0, 785521|» 0, 000123 < 0, 001, что и требовалось.
|