Метод трапеций. Разобьём отрезок [a; b] на n равных частей длины D = и впишем в подграфик функции f прямоугольные трапеции

Разобьём отрезок [a; b] на n равных частей длины D = и впишем в подграфик функции f прямоугольные трапеции, как показано на рисунке.Если обозначить f(x_i) = f_i, то заменив интеграл, численно равный площади подграфика, суммой площадей трапеций, получим формулу трапеций:

.

Для того чтобы осознанно пользоваться этой формулой, нужно оценить погрешность, с которой она даёт значение интеграла. Предположим, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b]. Тогда на каждом интервале [x_i; x_i+1] она заменяется линейной функцией . Оценим разность

r(x) = f(x) – L(x) – K·(x – x_i)·(x – x_i+1),

где x Î (x_i; x_i+1), а K – постоянная со свойством r(y) = 0 для некоторой фиксированной точки y Î (x_i; x_i+1), т.е. K = . Таким образом, дважды непрерывно дифференцируемая функция r(x) обращается в ноль, по крайней мере, в трёх точках: x_i, y, x_i+1.

По теореме Роля, производная r¢ (x) имеет, по крайней мере, по одному корню на каждом их отрезков (x_i; y) и (y; x_i+1). Ещё раз применяя теорему Ролля, получим, что у второй производной r¢ ¢ (x) есть корень на (x_i; x_i+1). С другой стороны, r¢ ¢ (x) = f¢ ¢ (x) – 0 – 2·K. Таким образом, K = , где x Î (x_i; x_i+1) – корень r¢ ¢ (x). Итак,

f(y) = L(y) + ·(y – x_i)·(y – x_i+1),

т.к. r(y) = 0, а x зависит от y.

Интегрируя по y в отрезке [x_i; x_i+1], получим

,

причём первое слагаемое в правой части равно:

где D = x_i+1 – x_i. Значит, ,

где M_i = |f¢ ¢ (x)|.

Таким образом, , и в общем виде

где M = |f¢ ¢ (x)|.

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности e из неравенства находить число n: n > , вычислять D = , и осознанно применять формулу трапеций .

Пример. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл .

Оцениваем для подынтегральной функции f(x) = вторую производную:

f¢ (x) = , f¢ ¢ (x) = ,

т.к. 3·x² – 1 £ 3·1² – 1 = 2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 19. Теперь пользуемся методом прямоугольников:

Сравнивая полученное значение интеграла с точным значением » 0, 785398, получим

| – I |» |0, 785398 – 0, 785283|» 0, 000115 < 0, 001,

что и требовалось.