Метод Симпсона (параболическое интерполирование)

До сих пор функция f(x) на каждом из отрезков интегрирования заменялась линейной функцией вида k·x + m. Для более точного приближения заменим её квадратным трёхчленом a·x² + b·x + c, где коэффициенты a, b, c подберём так, чтобы значения этого трёхчлена совпадали с f(x) в трёх точках: x_i, x_i+1/2 = и x_i+1. Такое требование приводит к системе линейных уравнений с неизвестными a, b, c:

,

определитель которой равен

и не обращается в ноль. Таким образом, эта система имеет единственное решение при любых правых частях.

Для того чтобы найти решение без вычислений, заметим, что квадратный трёхчлен

где D = x_i+1 – x_i удовлетворяет требованиям L(x_i) = f_i, L(x_i+1/2) = f_i+1/2, L(x_i+1) = f_i+1, в чём легко убедиться, подставляя эти значения аргумента.

Кроме того, справедливы следующие выкладки:

Аналогично вычисляем:

Значит,

.

Теперь получаем формулу Симпсона:

Для оценки погрешности этой формулы будем рассуждать так же, как и для формулы трапеций, предполагая функцию f(x) трижды непрерывно дифференцируемой на (x_i; x_i+1). Оценим разность

r(x) = f(x) – L(x) – K·(x – x_i)·(x – x_i+1/2 )·(x – x_i+1),

где x Î (x_i; x_i+1/2) È (x_i+1/2; x_i+1) = I, а K – постоянная, определяемая условием r(y) = 0 для некоторой фиксированной точки y Î I, т.е. . Таким образом, трижды непрерывно дифференцируемая функция r(x) обращается в ноль, по крайней мере, в четырёх точках: x_i, y, x_i+1/2, x_i+1.

По теореме Роля, производная r¢ (x) имеет, по крайней мере, по одному корню на каждом их отрезков (x_i; y), (y; x_i+1/2) и (x_i+1/2; x_i+1) (или (x_i; x_i+1/2), (x_i+1/2 ; y) и (y; x_i+1) в зависимости от расположения точки y относительносередины x_i+1/2 отрезка (x_i; x_i+1)). Ещё раз применяя теорему Ролля, получим, что у второй производной r¢ ¢ (x) есть, как минимум, два корня на (x_i; x_i+1), а у r¢ ¢ ¢ (x) – один. С другой стороны, ясно, что r¢ ¢ ¢ (x) = f¢ ¢ ¢ (x) – 0 – 6·K. Таким образом, K = , где x Î (x_i; x_i+1) – корень r¢ ¢ ¢ (x). Итак,

f(y) = L(y) + ·(y – x_i) ·(y – x_i+1/2 )·(y – x_i+1),

т.к. r(y) = 0, а x зависит от y.

Интегрируя по y в отрезке [x_i; x_i+1], получим

,

причём первое слагаемое в правой части равно (оно было вычислено ранее): , где D = x_i+1 – x_i. Значит,

.

Кроме того,

где M_i = |f¢ ¢ (x)|. Последний интеграл нужно вычислять, раскрывая модуль:

Таким образом,

и в общем виде

где M = |f¢ ¢ ¢ (x)|.

Замечание: При условии четырежды непрерывной дифференцируемости на (a; b) можно доказать, что погрешность метода Симпсона не превосходит , где M = |f ^(IV)(x)|.

Полученная оценка позволяет по заданной погрешности e из неравенства найти число итераций n: n > , вычислить D = , и применить осмысленно формулу Симпсона .

Пример. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл .

Оцениваем для подынтегральной функции f(x) = третью производную:

f¢ (x) = , f¢ ¢ (x) = ,

f¢ ¢ ¢ (x) = .

т.к. |–x³ + x| £ |x|³+|x| £ 2, .

Вычисляем n > , т.е. n = 12. Теперь пользуемся методом Симпсона: