Оценка погрешности метода

Все оценки погрешности, полученные для решений задачи Коши для одного дифференциального уравнения 1-го порядка, остаются справедливыми и для решения систем аналогичных дифференциальных уравнений. В силу этого абсолютная погрешность метода Эйлера на каждом шаге пропорциональна величине h ²

.

Здесь

,

где

.

При вычислении коэффициента C_{k +1} в качестве вектор-функции используется некая промежуточная функция, кривая которой в (n +1)-мерном пространстве переменных x, y ₁, y ₂,..., y_n, располагается между кривыми приближённого и неизвестного точного решений.

Абсолютная погрешность вычисления приближённого решения на отрезке интегрирования системы дифференциальных уравнений после n -го шага оценивается следующим образом

,

где m = 2 для метода Эйлера и

.

На практике такое вычисление абсолютных погрешностей решения задачи Коши затруднено. Поэтому, как правило, для вычисления погрешности методов используют апостериорную оценку, базирующуюся на правиле Рунге

,

где y (x_k, h) и y (x_k, 2 h) – приближённые значения вектора решения, вычисленные в точке x_k при шагах интегрирования, отличающихся друг от друга в два раза.

В качестве относительной погрешности решения задачи Коши на отрезке [ x ₀, x_n ], как и в случае одного дифференциального уравнения 1-го порядка, используют интервальную оценку

.

Алгоритм метода Эйлера решения задачи Коши и оценка погрешности получаемых результатов может быть проиллюстрирован на примере решения уравнения с начальными условиями y (0) = 0, на отрезке [0, 0.4] с шагом h = 0.1.

На первом этапе дифференциальное уравнение 2-го порядка должно быть преобразовано к эквивалентной системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для этого вводятся следующие обозначения

,

что позволяет записать исходную задачу Коши в виде системы

В соответствии с алгоритмом метода Эйлера рас­чётная схема решения системы дифференциальных уравнений может быть представлена в виде следующих соотношений

,

Таким образом, процесс решения с заданным шагом интегрирования h = 0.1 будет выглядеть следующим образом

Для получения оценки погрешности решения необходимо повторить про­деланные расчёты с удвоенным шагом h = 0.2

Эти результаты позволяют оценить абсолютную и относительную погрешности решения с шагом интегрирования h = 0.1

,

,

,

,

,

, ,

,

,

, .

Возможный вариант реализации метода Эйлера в программе Excel представлен на рис.1. Здесь решена задача Коши, подобная рассмотренной выше. Отличие состоит в том, что отрезок построения решения увеличен до отрезка [0, 2]. Сравнение решений с шагами h = 0.1 и h = 0.05 позволяет оценить погрешность последнего.

Рис.1.