Метод Ньютона (метод касательных). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение к корню.

Предположим, что графическим методом определено начальное приближение к корню.

В точке вычислим левую часть уравнения (1.1/1) , а также производную в этой точке .

Далее находим следующее приближение к корню как точку, в которой касательная к функции , проведенная из точки пересекает ось абсцисс.

Получим рекуррентное соотношение для пересчета приближения к корню.

Запишем уравнение касательной к точке (1.5.1).

(1.5.1)

Найдем такой , при котором данное уравнение обращается в ноль, получим (1.5.2):

(1.5.2)

Далее данная процедура повторяется.

В общем виде для - шага итерационного процесса последнее соотношение принимает вид (1.5.3

(1.5.3)

С каждой итерацией расстояние между очередным и предыдущим приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончится тогда, когда выполнится условие (1.5.4)

(1.5.4)

где - заданная погрешность определения корня.

Также критерием окончания итерационного процесса может быть условие (1.5.5):

(1.5.5)

где - заданная погрешность определения корня.

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Можно, несколько уменьшить скорость сходимости, если ограничится вычислением производной только на первой итерации. Таким образом, получаем модифицированный метод Ньютона.