Метод простых итераций. Предположим, что уравнение (1.1.1) при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду (1.7.4):

Предположим, что уравнение (1.1.1) при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду (1.7.4):

(1.7.4)

Пусть известно начальное приближение к корню , тогда подставим его в правую часть уравнения (1.7.4) и получим новое приближение (1.7.5):

(1.7.5)

Затем аналогичным образом получим и т.д.:

(1.7.6)

Заметим: тот факт, что корень уравнения , означает, что есть абсцисса точки пересечения графика с прямой .

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс будет сходиться к корню уравнения .

Рассмотрим процесс графически (рисунок 1).

Рисунок 1

Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы.

Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной функции . Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически.

Будем считать, что в итерационной формуле (1.7.6)

(1.7.7)

где , - отклонения k и k+1 приближения к корню. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня , то функцию можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (1.7.6) примет вид (1.7.8):

(1.7.8)

но так как является корнем уравнения, то и, следовательно (1.7.9),

(1.7.9)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие (1.7.10)

(1.7.10)

или

(1.7.11)

Переход от уравнения (1.1.1) к уравнению (1.7.4) можно осуществить разными способами в зависимости от вида функции . При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (1.7.10). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1.1) к уравнению (1.7.4).

Умножим левую и правую части уравнения (1.1.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся (1.7.11):

(1.7.11)

Введем обозначение (1.7.12)

(1.7.12)

и перейдем от соотношения (1.7.11) к уравнению (1.7.4).

Произвольный выбор константы позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.7.10). Желательно выбрать величину такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней. В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса (1.7.13)

(1.7.13)

где - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция выбрана в виде (1.33), то производная по от этой функции будет (1.7.14)

(1.7.14)

Наибольшую скорость сходимости получим при , тогда

и итерационная формула (1.7.6) переходит в формулу Ньютона (1.7.15)

(1.7.15)