ВСТУП до дисципліни

Згадана у передмові об'єктивна зумовленість застосування саме імовірнісних (статистичних і стохастичних) математичних методів в географії викликана певними групами причин.

Перша група причин – це причини, пов'язані із сутністю поняття та загальними властивостями географічних систем (геосистем), як основного метаоб'єкта дослідження географії, які ґрунтовно вивчені у працях багатьох вчених, зокрема М.Д.Гродзинського ([9] і ін.), В.М.Самойленка ([1, 10] і ін.) тощо. При цьому у [9] визначено загальні властивості геосистем, деякі з яких ми і розглянемо під кутом зору їхнього впливу на вибір методів математичного аналізу географічної інформації, які подаються у цьому підручнику.

Так складність, як властивість геосистем, зумовлює неоднозначність реакцій цих систем на дію зовнішніх і внутрішніх чинників або факторів динаміки геосистем. За останні може правити ціла низка впливів природного та антропогенного генезису, включаючи, наприклад, метеорологічні (кліматичні), гідрологічні, геоморфологічні та інші фізико-географічні чинники та умови, техногенез і інші антропогенні фактори та процеси, що діють на геосистеми або в них, і які самі по собі мають випадкову природу (імовірнісний характер), про що мова піде далі. Тут же зазначимо, що через складність геосистем, навіть замірявши чи задавши певним чином ступінь, наприклад, зовнішнього впливу на них, ми не отримаємо однозначно визначеної (або детермінованої) оцінки відгуку систем на ці впливи, хай навіть для окремих відносно однорідних компонентів геосистем. Чисельно ми зможемо визначити лише певний діапазон зміни параметрів компонента конкретної геосистеми, який з певним ступенем достовірності щодо кожного конкретного чисельного значення обраного параметра, а отже з елементом ймовірності у широкому розумінні, і буде характеризувати зазначений відгук геосистем.

Продовжуючи тему відгуків геосистем, відзначимо, що вони є наслідком іншої їхньої властивості – відкритості (для більшості геосистем). Ця властивість зумовлює вельми тісний зв'язок із довкіллям, а отже своєрідність процесів у останньому має, за фундаментальними положеннями теорії систем, зумовити і адекватну своєрідність просторово-часової динаміки певних параметрів стану геосистем (географічних параметрів або, надалі скорочено, геопараметрів, які, за потреби, можна диференціювати на фізико-географічні, геоекологічні, геоморфологічні, гідрологічні, гідроекологічні, соціально-економічні і т.ін.). Отже, якщо процеси довкілля мають випадковий (імовірнісний) характер і такі процеси формують визначені режими геосистем (водний, геохімічний тощо), то характеристики цих вже власне геосистемних процесів теж повинні мати імовірнісний характер, тобто розглядатися як випадкові величини або як функції таких величин від часу чи простору. Останнє одночасно пов'язане і з такими властивостями геосистем, як їхня динамічність і територіальність – просторовість. Наприклад, коливання обраних щорічних кількісних показників процесів водної площинної ерозії у геосистемі у багаторічному розрізі випадковим чином коливаються навколо своїх усереднених значень, відображаючи, крім варіацій інших відповідних умов у тривимірній геосистемі, випадкові коливання комбінацій показників опадів, водного стоку і т.ін.

Більше того, врахування перерахованих вище і деяких інших особливостей геосистем дало змогу у [9] узагальнити ці особливості, вирізнивши ще одну загальну властивість геосистем, яка і була безпосередньо названа стохастичністю геосистем. При цьомустохастичність геосистем у цілому ототожнюється з тим, що зв'язки між характеристиками геосистем та їхні зв'язки (у т.ч. взаємо-зворотні) із довкіллям є не жорстко детермінованими (функціональними), а імовірнісними. Причинами цього, крім вже названих у попередніх абзацах, є і довгі ланцюжки зв'язків між елементами геосистем та досить часта наявність опосередкованості у взаємовідносинах таких елементів, тобто наявність ланцюжків, коли один елемент діє на інший, той на наступний тощо. Конкретні прояви стохастичності геосистем за [9] можна звести до:

– певних нефункціональних (стохастичних, статистичних або кореляційних, див.р.7. – В.С., О.Т.) зв'язках між окремими характеристичними ознаками геосистем, наприклад, між їхньою продуктивністю та гумусністю тощо;

– відсутності однозначного поєднання якогось типу геокомпонента з іншим, наприклад, певного типу рослинного угруповання з лише одним певним видом ґрунту;

– незбігові (і коливаннях. – В.С., О.Т.) природних меж різних геокомпонентів;

– неоднозначності змін геосистем за певних антропогенних навантажень;

– інших проявах, що разом із зазначеними вище власне і зумовлюють імовірнісний (випадковий) характер просторово-часової динаміки геосистем та їхніх елементів.

Розглянута перша група причин застосування імовірнісних (статистичних і стохастичних) математичних методів в географії органічно переплітається і з другою групою, що пов'язана із способами математичного відтворення властивостей геосистем, тобто з їхнім математичним моделюванням (зрозуміло, що цей аспект буде детально розглянутий у відповідному підручнику, про що вже згадувалося у передмові).

Математичне моделювання у географії точно формалізованими методами можна умовно (за широкого підходу) розділити на два напрями:

– моделювання загального змісту та принципової структури обмінно-потокових процесів у геосистемах (обміну енергією, речовиною тощо);

– моделювання просторово-часової динаміки факторів і параметрів стану геосистем різного рангу та генетично-функціональних характеристик або певних елементів (чи модулів за [9, 10]) цих геосистем. Важливим постулатом при цьому є те, що за умов неможливості виявлення всіх факторів просторово-часових змін геопараметрів (тобто факторів т.зв. параметричних збурень геосистем як динамічних систем) існують способи моделювання, що спираються лише на об'єктивно існуючі закономірності, властиві безпосередньо цим параметричним збуренням.

Перший напрям моделювання забезпечується, як правило, функціональними (детермінованими) прийомами загальної та вищої математики, передусім за допомогою використання диференціальних рівнянь і т.ін. Другий же напрям і підтримується вище названими нами імовірнісними методами матаналізу. Їх, у свою чергу, як вже зазначалося, можна розподілити на статистичні (стосовно геопараметрів як випадкових величин) та стохастичні (стосовно динаміки геопараметрів у вигляді випадкових функцій часу чи простору). З огляду на це ми підійшли до необхідності попереднього загального визначення з поняттям детермінованих і випадкових величин.

Для цього спочатку розглянемо поняття про експеримент (дослід) у географії, зваживши, по-перше, на принциповий зміст географічної інформації, методи узагальнення та аналізу якої переважно будуть подані у цьому підручнику, а, по-друге, на прийняті у теорії ймовірностей підходи до експериментів.

Стосовно географічної інформації, то, по-перше, у підручнику із статистичних і стохастичних математичних методів ми будемо мати справу здебільшого з т.зв. фактографічною географічною інформацією, тобто з інформацією, яка відображає фактичні, у т.ч. екстрапольовані чи інтерпольовані на основі фактичних, дані (фактографічні бази даних) щодо параметрів і характеристик стану геосистем, а не, скажімо, дані експертних (аналітичних) оцінок тощо. По-друге, при цьому ми звичайно будемо зважати на т.зв. номінальні ознаки (якісні атрибути) географічних даних як функцію інваріантної ознаки певної структури геосистеми. Тобто, наприклад, ми будемо зважати на будь-яку класифікаційну у географії ознаку, таку як тип ґрунтів – дерново-підзолисті, сірі лісові тощо, – чи таку, як рід ландшафту – заплави на осадових відкладах з дерновими та торф'яно-болотними ґрунтами, болотні масиви на осадових відкладах з торф'яно-болотними ґрунтами й торфовищами тощо – і т.ін. А проте, методи матаналізу цього підручника будуть торкатись безпосередньо тих, чи інших числових або варіаційних ознак (кількісних атрибутів) певних сукупностей фактографічної географічної інформації, які відображають передусім такі властивості геосистем, як динамічність і територіальність – просторовість. Тобто, нас буде цікавити, наприклад, не просто типологічний набір ґрунтів у геосистемі, а такі їхні показники, як вміст гумусу чи поживних речовин, рівні забрудненості інгредієнтами різного походження і т.ін. Отже ми будемо мати справу з параметричними імовірнісними методами. До того ж, за змістом вже розглянутих зв'язків і взаємозв'язків між елементами геосистеми та між ними та довкіллям, до складу географічної інформації, методи узагальнення якої запропоновано у підручнику, будуть входити параметри як власне стану та режимів геосистем (та ж продуктивність, зміна чисельності популяцій тощо), так і процесів-факторів цього стану (наприклад гідрометеорологічних – кількості опадів, змін температури повітря тощо). При цьому слід зважати і на те, що поділ на параметри стану та параметри факторів цього стану для геосистем досить умовний і залежить від " точки відліку" при аналізі чи моделюванні. Наприклад, певні гідрологічні чи гідроекологічні показники можуть розглядатися і як характеристики факторів стійкості наземних і водних біогеоценозів, і як, відносно паритетні з іншими, характеристики водного режиму геосистем, тобто як параметри їхнього стану – геопараметри. Тому досить часто термін " геопараметри" у цьому підручнику буде вживатися у широкому розумінні, тобто стосовно і параметрів стану геосистем, і параметрів факторів цього стану, а отже як еквівалент терміна " географічна інформація", якщо інше не буде спеціально обумовлюватися.

Стосовно експерименту, то його поняття у теорії ймовірностей ([1, 4]) має досить широке тлумачення. Експеримент (або дослід) у цілому визначається:

– певним комплексом умов, які або створюються штучно (власна постановка експериментатора), або виконуються незалежно від експериментатора (наприклад, режимні спостереження в державній системі моніторингу довкілля);

– наслідками експерименту (результатами досліду), тобто певними подіями, що спостерігаються в результаті реалізації зазначеного комплексу умов.

У цілому можна вирізнити два класи експериментів ( або дослідів):

– детермінований експеримент. За такого експерименту його умови однозначно визначають наставання (або ненаставання) очікуваних подій. Наслідком такого експерименту є події (і відповідні їм детерміновані величини), заздалегідь передбачувані на основі природничих законів тощо. Найпростішим прикладом наслідку детермінованого експерименту з отриманням суто детермінованих величин є формула площі круга S =π r ², більш складним – періодичний закон Д.І.Менделєєва (заряд атомного ядра дорівнює порядковому номеру в періодичній системі елементів) як один з найважливіших проявів системоперіодичного закону у природокористуванні;

– випадковий (або імовірнісний) експеримент. За такого експерименту за одних і тих же умов досліду можливим є наставання взаємовиключних (у т.ч. протилежних) подій, одна з яких (не обов'язково із двох), а проте, відбудеться обов'язково. Наведемо деякі приклади. Так, спостереження за тимчасовим водотоком за тривалий період часу можуть у цілому призвести до вирізнення двох протилежних подій у його стані – пересихання та непересихання, точні числа (точну кількість) і послідовність наставання кожної з яких не можна передбачити заздалегідь, але можна зафіксувати за зазначений період, що і буде наслідками випадкового експерименту. Важливим прикладом випадкового експерименту є дослід, у якому вимірюється вже задана характеристика (параметр) геосистеми, при цьому певне її числове значення з отриманого за якийсь період чи на якомусь просторі діапазону всіх значень і буде тотожним числовим відбитком елементарної події імовірнісного експерименту або його серій. Такі події до того ж є попарно несполучними у їхній послідовності, тобто неможливим є одночасне здійснення і першої, і другої події; і другої, і третьої і т.д.

Вивченню способів осмислення та аналізу наслідків саме різних випадкових експериментів і присвячений цей підручник з імовірнісних (статистичних і стохастичних) математичних методів у географії. При цьому, попередньо та спрощено, тобто у широкому розумінні, випадкової величиною будемо вважати отриману в результаті імовірнісного експерименту (досліду) величину, значення якої, як числові відбитки елементарних подій (наслідків) такого експерименту, змінюються випадковим чином. У такому аспекті, з апріорних позицій, які будуть обумовлені далі, можна одразу відзначити, що кожне значення певного геопараметра, який розглядається як випадкова величина (випадковий геопараметр), буде мати власну визначену ймовірність виникнення чи існування (реалізації).

Більш зрозумілим стає і вже викладений поділ імовірнісних методів на статистичні та стохастичні. У першому випадку ймовірна поява певного значення з набору всіх зафіксованих значень випадкового геопараметра аналізується без прив'язки до відповідного цій появі часового проміжку чи просторового відрізка тощо, тобто аналізується наявна чи максимально велика сукупність значень випадкового геопараметра, межею якої є т.зв. генеральна сукупність. У другому випадку, зрозуміло, така прив'язка є основоположною і розглядається випадкова функція геопараметра (для неперервних величин), кожне значення якої у фіксованій точці часу чи простору є випадковою величиною, яка, у свою чергу, складається з набору власних значень. При цьому важливим стає дослідження зв'язків між випадковими величинами, як значеннями випадкової функції, у часі чи за простором. До того ж, у обох випадках імовірнісному характеру геопараметрів як випадкових величин " сприяє" реальна за умовами дослідів просторово-часова обмеженість і дискретність фактографічної інформації, що спричинює і додаткові випадкові помилки фактичної фіксації кожного заданого геопараметра, які входять до набору його значень.

Пояснимо зміст останніх трьох абзаців на прикладі такого геопараметра як продуктивність (чиста первинна продукція) довільної геосистеми. Навіть не враховуючи всі помилки інструментального та аналітичного визначення, щорічне числове значення такої продуктивності формується під впливом значної, практично неможливої для остаточного виявлення, кількості факторів і умов у геосистемі, динаміка та сполучення яких мають випадковий характер. Сюди у цілому відносяться змінні у кожному році: вологість останнього, спричинена кількістю опадів; інтенсивність світла та інші метеорологічні умови (температурний режим повітря загалом і несприятливі явища на кшталт заморозків на поверхні ґрунту тощо, висота снігового покриву), що впливають на тривалість і особливості вегетаційного періоду, включаючи режим випаровування з поверхні ґрунту чи рослинного покриву; режим ґрунтових вод, що живлять кореневу систему рослинних асоціацій; геохімічні та агроекологічні особливості міграції та накопичення поживних чи забруднювальних речовин у ґрунті; ступінь антропогенного, насамперед негативного, впливу на геосистему; динаміка рослинних асоціацій, враховуючи їхні сукцесії, і т.ін. У результаті ми отримуємо багаторічну мінливість числових значень продуктивності геосистеми, коливання яких визначаються ситуаційною (різні варіанти сполучень) і суперпозиційною (одночасна дія) багатофакторністю. Отриманий набір цих значень (або, інакше кажучи, вже згадані раніше параметричні збурення геосистеми за обраним параметром – продуктивністю) і буде характеризувати діапазон коливань продуктивності як об'єктивно випадкової величини. І більш конкретні оцінювання цього обраного геопараметра вже можливі у вигляді визначення якогось середнього значення за багаторічний період і різноспрямованих (різних за знаком) відхилень від нього певної ймовірності. Причім, як буде показано у підручнику, цим відхиленням, як і коливанню випадкових величин у цілому, властиві об'єктивні закономірності, що встановлюються " персонально" для кожного явища чи групи явищ, варіабельність яких визначається схожими схемами її формування. Остання тезу слід протиставити думці, що широко побутувала колись, про застосування імовірнісних математичних методів виключно за рахунок апарата " " чорної" скрині".

Визначившись із змістом поняття, ми підійшли впритул до попереднього ознайомлення із структурою випадкової величини. Зауважимо, що попри те, що таку величину ми отримуємо в результаті випадкового експерименту (див. вище), до її складу може входити і детермінований (регулярний) складник. Тобто слід розрізняти отримання детермінованої величини в результаті детермінованого досліду (див. їхні приклади) та вирізнення детермінованої величини як складника випадкової величини, хоча останній може бути за певних умов змодельований і за допомогою детермінованих моделей як суто детермінована величина, отримана в цьому випадку за результатами однойменного досліду (див. наступний текст).

Отже, випадкову величину (ВВ) у загальному вигляді можна подати як суму двох складників: детермінованого або регулярного (ДРС) та суто випадкового (СВС), тобто

ВВ = ДРС + СВС.

Як буде детально показано у підручнику, перший складник (ДРС) формули може відповідати двом принциповим варіантам, а саме бути:

– середнім значенням випадкової величини або т.зв. її математичним очікуванням, якщо ми будемо визначати середнє значення з нескінченно великого набору значень ВВ (тобто з її генеральної сукупності, яка, як і її математичне очікування, загалом є модельною абстракцією). Саме через різницю між математичним очікуванням та фактичним середнім значенням, яка виникає за рахунок обмеженості даних при визначенні середнього, величина цього середнього теж коливається в межах помилок свого визначення, що враховується за допомогою інтервалів таких помилок, які звуться довірчими;

– детермінованим або регулярним значенням прогнозних, як правило, часових детерміновано-стохастичних моделей. Ці моделі відтворюють у загальному вигляді зміни геопараметра у часі (наприклад, вмісту гумусу на дослідному полігоні за багатоліття). Детерміноване значення у даному випадку, по-перше, може бути змодельоване за детермінованими моделями, вважаючи його математичним очікуванням для кожного інтервалу часу, на який воно прогнозується (тобто, наприклад, якщо ми будемо застосовувати максимально достовірну прогнозну модель вмісту гумусу від факторів, що його визначають, а отже впритул наблизимося до умов детермінованого експерименту). По-друге, складник ДРС може бути відфільтрований спеціальними засобами від помилок його визначення з наявного динамічного ряду значень випадкової величини.

Одразу зазначимо також, що певна ймовірність другого складника наведеної моделі – суто випадкового (СВС) – визначає, як правило, і адекватну певну ймовірність значення власне випадкової величини у лівій частині моделі (ВВ). До того ж складник СВС може бути як додатнім, так і від'ємним.

Позаяк дисципліна та підручник з імовірнісних математичних методів є " предтечею" дисципліни та підручника з математичного моделювання, доцільно у загальних рисах визначитись з типами точно формалізованих математичних моделей у географії, розрізненими тут в залежності від апарата, який застосовується для їхньої побудови. Таким чином умовно можна вирізнити три типи моделей:

– детерміновані моделі (або факторні чи генетичні). За ними визначаються практично єдині, детерміновані значення геопараметра за його факторами, генезисом, теоретичною моделлю відповідного процесу і т.ін. Способи побудови таких моделей вважаються максимально наближеними до комплексу умов детермінованого експерименту (досліду);

– суто імовірнісні (або суто стохастичні) моделі. За ними отримують величини, які аналізуються та оцінюються як суто випадкові складники випадкових величин, або як випадкові величини певної ймовірності без вирізнення їхніх детермінованих складників чи шляхом абстрагування від них;

– детерміновано-стохастичні (або факторно-ймовірнісні) моделі. Найбільш перспективний і обґрунтований вид моделей для геопараметрів за повною структурою вищенаведеної формули. Побудову таких моделей засновано на різних комбінаціях засобів факторних (генетичних) і суто імовірнісних моделей. При цьому, крім очевидних, до таких комбінацій можуть входити: факторно-ймовірнісне визначення регулярного складника моделей, у т.ч. за імовірнісними поєднаннями його факторів або за рахунок обумовленого " присвоєння" цьому складнику визначеної ймовірності; факторне визначення ймовірності розрахункового значення випадкової величини та імовірнісних допустимих меж коливань її значень у цілому тощо.

Дуже важливим є те, що будь-які види математичного аналізу та моделювання і детермінованого, і, що принципово, випадкового складника геопараметра, а отже і такого випадкового геопараметра у цілому, мають бути засновані на знаннях про фізичні та математичні закономірності плину відповідних явищ і процесів, що моделюються. Показовим при цьому є принцип, що буде розглянутий у цьому підручнику, за яким детерміновану (невипадкову) величину можна розглядати як випадкову величину з одним можливим значенням, якого вона набирає завжди, тобто з ймовірністю 1 (або 100%). Усе це разом з раніше викладеними міркуваннями підкреслює об'єктивність і доцільність застосування саме імовірнісних математичних методів в географії. На користь останньої тези свідчить і, наприклад, т.зв. закон великих чисел у теорії ймовірностей, зміст теорем якого зводиться до того, що при достатньо великому числі незалежних випадкових подій середній їхній результат втрачає випадковий характер і може бути передбачений з досить великою мірою визначеності.

Існує ще декілька особливостей застосування імовірнісних (статистичних і стохастичних) математичних методів в географії, що зумовлюють і пов'язані з ними особливості викладання матеріалу в цьому підручнику, а саме:

– у підручнику перевага віддана розгляду точно формалізованих параметричних методів узагальнення та аналізу географічної інформації, про що вже йшла мова. Слабко формалізовані методи будуть розглянуті частково у підручнику з моделювання як більш " умовно модельні";

– при проведенні чи використанні даних імовірнісного експерименту слід завжди виходити з головної вимоги до випадкових величин: однакові умови досліду та його серій;

– обрані для математичного узагальнення та аналізу значення певного геопараметра як випадкової величини мають бути максимально репрезентативними та достовірними. Така вимога випливає із закономірної просторово-часової обмеженості вихідної географічної інформації. Ця вимога загалом зводиться до обов'язкового оцінювання, шляхом застосування спеціальних математичних засобів, міри відповідності набору фактичних значень геопараметра (або емпіричної його вибірки) генеральній сукупності таких даних. Власне такі спеціальні засоби, через вже зазначені причини, у вигляді комплексної методики модельного стохастичного оцінювання достовірності географічної інформації, розробленої проф. Самойленком В.М. ([10]), будуть викладені у наступному підручнику з математичного моделювання;

– фактографічна географічна інформація, призначена для імовірнісного матаналізу, повинна також задовольняти певним умовам її однорідності, для чого існує низка кількісних критеріїв, що будуть розглянуті. А проте, апріорі, вже на початковій стадії формування даних для узагальнення (на стадії постановки імовірнісного досліду або розгляду вже проведених таких дослідів), слід мати певні уявлення щодо якісних природних закономірностей явища чи геооб'єкта, які досліджуються. Це робиться з метою об'єднання вихідної інформації для генетично, функціонально, структурно тощо однорідних значень геопараметрів, враховуючи відповідні фази чи етапи розвитку геосистем або їхніх елементів та й загалом якісний зміст періодів часу, за який аналізується зміна значень того чи іншого геопараметра у широкому розумінні. Останні вимоги будуть більш зрозумілими, якщо врахувати таку властивість геосистем, як їхня цілісність (див. [9]. Згідно з цією властивістю, вилучення з геосистеми будь-якого компонента призводить до її кардинальної трансформації. Отже, дотримуючись якісних критеріїв однорідності географічної інформації, не можна об'єднувати у вихідну сукупність значень геопараметра дані, що характеризують, наприклад, період " усталеного" та " деградованого" (" депресивного") функціонування геосистеми і т.ін.;

– для статистичних і стохастичних узагальнень за методами цього підручника та й загалом для опановування його підходами бажано використовувати невід'ємні числові значення фактографічної географічної інформації, тому що це значно полегшує сприймання та застосування викладених у підручнику методів. До того ж, за змістом такої інформації тільки поодинокі геопараметри можуть мати від'ємні значення, що головним чином пов'язане лише з точкою відліку при вимірюванні таких параметрів (наприклад, температури певних середовищ, відміток абсолютної висоти тощо). Отже, зазначене побажання можна досить легко виконати, змінивши нульове значення відповідної числової осі.

Запитання та завдання до вступу для самоконтролю

1. Якими є групи причин, що викликають об'єктивну зумовленість застосування імовірнісних математичних методів у географії? Наведіть Ваші приклади-коментарі.

2. Що може являти собою детермінований або регулярний складник у структурі випадкової величини? Наведіть Ваші приклади-коментарі.

3. Чим відрізняються між собою елементарна та випадкова події? Прокоментуйте на Вашому прикладі.

4. У чому полягає принципова відмінність між собою двох основних напрямів моделювання у географії точно формалізованими методами? Наведіть Ваші приклади-коментарі.

5. У чому полягає зміст вживання терміна " геопараметри" у широкому розумінні? Наведіть Ваші приклади-коментарі.

6. Чим принципово відрізняються детермінований і випадковий експеримент у теорії ймовірностей? Наведіть Ваші приклади-коментарі.

7. Як можна пояснити на прикладі довільного геопараметра ситуаційну та суперпозиційну багатофакторність динаміки геосистеми? Наведіть Ваші приклади-коментарі.