Определение частотных характеристик

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.

Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой А_вх = 1 и некоторой частотой w, т.е.

x(t) = А_вхsin(wt) = sin(wt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигнал той же частоты w, но другой амплитуды А_вых и фазы j:

у(t) = А_выхsin(wt + j)

При разных значениях w величины А_вых и j, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ:

· АФХ – амплитудно-фазовая характеристика - зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала от частоты входного (изображается на комплексной плоскости);

· АЧХ – амплитудно-частотная характеристика - зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного: А(w);

· ФЧХ – фазо-частотная характеристика - зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного: j(w);

· ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ, т.е. построенные в логарифмических координатах.

На комплексной плоскости входная величина x = А_вх^.sin(wt) для каждого момента времени t_i определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную А_вх, и отложен под углом wt_i к действительной оси (Re - действительная ось, Im - мнимая ось).

Тогда величину х можно записать в комплексной форме

(t) = А_вх(cos(wt) + j^.sin(wt)),

где j = - мнимая единица.

Или, если использовать формулу Эйлера e^ja = cosa + j^.sina, то можно записать

(t) = А_вх^.e^jwt.

Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор

(t) = А_вых^.e^j(wt+j).

Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

Определим производные по Лапласу:

у «Y

у’ «sY

у” «s²Y и т.д.

Определим производные ЧХ:

у’(t) = jw А_выхе^{j(wt + j)} = jw у,

у”(t) = (jw)² А_выхе^{j(wt + j)} = (jw)² у и т.д.

Отсюда видно соответствие s = jw.

Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jw.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы

, ,

где Re(w) и Im(w) – соответственно вещественная и мнимая части выражения для АФХ.

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re(w) = A(w) ^. cos j(w), Im(w) = A(w) ^. sin j(w).

График АЧХ всегда расположен в одной четверти, т.к. частота w > 0 и амплитуда А > 0. График ФЧХ может располагаться в двух четвертях, т.е. фаза j может быть как положительной, так и отрицательной. График АФХ может проходить по всем четвертям.

При графическом построении АЧХ по известной АФХ на кривой АФХ выделяются несколько ключевых точек, соответствующих определенным частотам. Далее измеряются расстояния от начала координат до каждой точки и на графике АЧХ откладываются: по вертикали – измеренные расстояния, по горизонтали – частоты. Построение АФХ производится аналогично, но измеряются не расстояния, а углы в градусах или радианах.

Для графического построения АФХ необходимо знать вид АЧХ и ФЧХ. При этом на АЧХ и ФЧХ выделяются несколько точек, соответствующих некоторым частотам. Для каждой частоты по АЧХ определяется амплитуда А, а по ФЧХ – фаза j. Каждой частоте соответствует точка на АФХ, расстояние до которой от начала координат равно А, а угол относительно положительной полуоси Re равен j. Отмеченные точки соединяются кривой.

Пример: .

При s = jw имеем

= = = =

= - j = Re(w) + j Im(w),

т.е. Re(w) = - выражение для действительной части АФХ,

Im(w) = - выражение для мнимой части АФХ (обратите внимание, что в данном выражение мнимая единица j отсутствует).

Изменяя w от 0 до ¥, можно построить АФХ (см. рисунок 1.34, а).

По формулам определяются выражения для АЧХ и ФЧХ:

,

.

Рисунок 1.34 – Примеры ЧХ

АЧХ и ФЧХ также строится путем изменения w от 0 до ¥ (см. рисунок 1.34, б и в). ¨

На рисунке 1.35 изображены АФХ типовых звеньев, рассмотренных ранее в п. 2.6.2.

Рисунок 1.35 – АФХ типовых звеньев