![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Общее дифференциальное уравнение теплопроводности
Для определения количества переданной теплоты необходимо знать коэффициент Выделим мысленно внутри тела некоторый объем. В нем могут действовать источники тепловыделения. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты
Пусть элементарный объем имеет вид прямоугольного параллелепипеда со сторонами
Рис. 1.3. Баланс теплоты нагрева элементарного параллелепипеда Для вычисления В этом направлении через левую грань поступает внутрь выделенного объема количество теплоты
Через противоположную грань за тот же промежуток времени вытекает из объема количество теплоты
Результативное количество вытекающей теплоты составит:
Полное количество вытекающей из параллелепипеда теплоты во всех трех направлениях будет равно:
Приращение внутренней энергии вычисляется через теплоемкость и изменение температуры:
Здесь с в Дж/(кг оС), а Подставив выражения (1.11), (1.12) и (1.13) в (1.10), получим
Введем в рассмотрение новую физическую характеристику вещества – коэффициент температуропроводности а, м2/с, определяемый из выражения а Он существенен для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры и является мерой теплоинерционных свойств тела. Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропрводности. При прочих равных условиях выравнивание температур происходит быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Уравнению (1.14) можно придать вид:
Уравнение (1.15) и представляет собой классическую запись дифференциального уравнения теплопроводности (уравнение Фурье). Физический смысл уравнения Фурье заключается в том, что им связывается пространственное распределение температуры с изменением ее во времени. Зная вблизи той или иной точки тела зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет возрастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. Наиболее простое соотношение получается тогда, когда Применительно к пространственным задачам стационарной теплопроводности
В цилиндрических координатах уравнение (1.15) записывается в виде:
где
|