Анализ решения уравнения Фурье

Рассмотрим общие уравнения распределения температур для пластины, цилиндра и шара для двух крайних случаев: и .

Случай

При малых значениях значения коэффициентов N, P, M, N_o, P_o, M_o мало отличаются друг от друга и близки к единице, т.е. можно записать:

Следовательно, при малых значениях температура на поверхности тел и в их середине практически имеет одинаковые значения. В этих случаях скорость нагревания или охлаждения мало отличается от скорости нагревания или охлаждения тел, обладающих бесконечно большой теплопроводностью (тонких тел).

Выведем уравнение для определения времени нагрева тонких тел.

Покажем это на примере пластины ( )..

ln .

Для цилиндра , тогда

.

Для шара при имеем:

Из этих уравнений видно, что время нагрева или охлаждения тонких тел пропорционально линейному размеру в первой степени и что при S=R цилиндр нагревается или охлаждается в в 2 раза, а шар в 3 раза быстрее пластины.

Время нагрева массивных тел находятся из выражений:

для пластины

для цилиндра

Видно, что время нагрева массивных изделий пропорционально квадрату линейного размера.

Случай

При этом величины Р и Р_о стремятся к нулю. Следовательно и Таким образом, при больших значениях поверхность тел очень быстро приобретает температуру, равную температуре среды. Этот случай возможен, если тело имеет очень большие размеры или большой коэффициент теплоотдачи (охлаждение или нагрев в жидких средах) и малый коэффициент теплопроводности.

Все зависимости как для тонких, так и для массивных тел получены для случаев нагрева или охлаждения отдельного цилиндра и пластины. Если же заготовки расположены иначе, то найденное время нагрева или охлаждения отдельного цилиндра или пластины следует умножить на поправочный коэффициент, значения которого в зависимости от схемы расположения в печи можно выбрать по таблицам, приведенным в соответствующей литературе.