Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теплопроводности в критериальном виде
|
|
Сложность расчета температурного поля связана с наличием большого числа факторов, влияющих на процессы нагрева или охлаждения тел, Пользуясь методами теории подобия, уравнение температурного поля можно представить в критериальном виде и тем самым значительно сократить число независимых переменных. Это позволяет упростить расчеты.
В качестве простейшего примера рассмотрим нагрев пластины толщиной 2S, имеющей одинаковую температуру по сечению tнач (рис.1.8). Плита помещена в печь, температура которой tср=const. Она обогревается с обеих сторон одинаково, причем коэффициент 
и 
Рис. 1.8. К выводу критериального дифференциального уравнения теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:
(1.60)
Начальные условия задачи:
(1.61)
Граничные условия задачи имеют вид:
(1.62)
Здесь 
– избыточная температура 
, 
– температура какой–либо точки пластины в какой–то момент времени.
Из уравнений (1.60)–(1.62) следует, что
(1.63)
В уравнении (1.63) количество размерных величин N=7, число единиц измерения (м, с, оС) 
3. Тогда на основании 
–теоремы можно предположить, что данное критериальное уравнение должно содержать 4 критерия или симплекса, так как N– 4.
При любой системе единиц математическая формулировка физического процесса должна оставаться справедливой. Поэтому изменим масштабы единиц измерения. Изменим единицы измерения длины в L, времени в Р, а температуры в Т раз. Получим:
(1.64)
Полагая, 
будем иметь:
или
.
Окончательно запишем:
(1.65)
где 
– относительная температура; 
–относительная длина; 
–критерий Фурье; 
–критерий Био.
Уравнение (1.65) и представляет собой дифференциальное уравнение теплопроводности, записанное в критериальном виде.
Критерий Био характеризует массивность тел и определяет отношение внутреннего теплового сопротивления тела 
к внешнему сопротивлению теплоотдачи 
. Уравнение (1.65) справедливо для случая нагревания или охлаждения не только пластины, но и цилиндра и шара при граничных условиях 3 рода.
При нагревании тел постоянным тепловым потоком 
(граничные условия 2–го рода) критериальное уравнение имеет вид:
. (1.66)
При граничных условиях 1-го рода имеем:
(1.67)