Нагрев тел при граничных условиях 1, 2 и 3 рода

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты:

. (1.68)

Условия однозначности зададим в виде:

(1.69)

Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий 1, 2, 3–го рода.

Дифференциальное уравнение (1.68) совместно с условиями однозначности (1.69) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Решение задачи заключается в отыскании такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (1.68) и условиям однозначности (1.69).

Рассмотрим случай нагрева плоской неограниченной стенки (см. рис.1.8), толщина которой 2 S значительно меньше двух других ее размеров. Стенка, имеющая по сечению температуру , внезапно нагревается средой с постоянной температурой . Выведем аналитические зависимости, позволяющие определять температурное поле пластины в любой момент времени. Ограничимся постановкой задачи.

Имеем следующие уравнения:

(1.70)

(1.71)

(1.72)

В результате решения системы уравнений (1.70)–(1.72) были получены уравнения, представляющие собой быстро сходящиеся ряды. Сходимость их возрастает вместе с увеличением критерия Фурье Fo. При Fo для пластины и Fo для цилиндра ряд может быть заменен первым членом. В этом случае уравнения для пластины и цилиндра могут быть записаны в виде:

Значения коэффициентов N, P, M, N_o, P_o, M_o представляют в виде табл. 1.1 и 1.2.

Таблица 1.1

Коэффициенты для расчета нагрева или охлаждения

пластины толщиной 2S

		Р	М	N
0, 00	0, 0000	1, 000	1, 000	1, 000
0, 01	0, 0100	0, 997	1, 000	1, 002
0, 02	0, 0199	0, 993	1, 000	1, 003
0, 04	0, 0397	0, 987	1, 000	1, 006
0, 06	0, 0584	0, 981	1, 000	1, 010
1, 20	0, 8410	0, 689	0, 981	1, 134
1, 40	0, 9310	0, 653	0, 977	1, 148
	2, 4000	0, 0286	0, 822	1, 273
	2, 4100	0, 0250	0, 820	1, 273
	2, 4100	0, 0222	0, 819	1, 273
	2, 4200	0, 0200	0, 818	1, 273
	2, 4670	0, 0000	0, 810	1, 273

` Таблица1.2

Коэффициенты для расчета нагрева или охлаждения

длинного цилиндра радиуса R

		Po	Mo	No
0, 00	0, 0000	1, 000	1, 000	1, 000
0, 01	0, 0200	0, 998	1, 000	1, 002

Окончание табл. 1.2

0, 02	0, 0398	0, 995	1, 000	1, 005
0, 04	0, 0792	0, 990	1, 000	1, 010
0, 06	0, 1183	0, 985	1, 000	1, 014
1, 20	1, 8100	0, 738	0, 979	1, 239
1, 40	2, 0300	0, 704	0, 973	1, 268
	5, 6200	0, 029	0, 710	1, 604
	5, 6400	0, 025	0, 707	1, 605
	5, 6600	0, 022	0, 705	1, 605
	5, 6800	0, 020	0, 704	1, 606
	5, 7870	0, 000	0, 691	1, 606

, для шара