Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.

Криволинейный интеграл 1-го рода можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу. Это обстоятельство и используется для вычисления криволинейных интегралов.

●

●

●

●

Пусть непрерывная спрямляемая кривая, а - функция, непрерывная на этой кривой. Установим на определенной направление, например, от к .

Положение любой точки кривой можно характеризовать длиной дуги :

(1)

.

- длина кривой .

В частности точка соответствует , а точка соответствует . При этом на уравнение (1) можно смотреть как на параметрические уравнения кривой . Тогда функция - становится сложной непрерывной функцией параметра .

Составим интегральную сумму для криволинейного интеграла 1-го рода, т.е.:

(2)

где - длина дуги .

В правой части равенства (2) стоит сумма интегрирования для обыкновенного определенного интеграла от непрерывной функции на отрезке . Переходя к пределу при стремлении к нулю шага разбиения кривой , получаем:

(3)

Выражение (3) связывает криволинейный интеграл 1-го рода с определенным интегралом.

В выражении (3) параметром является длина дуги , а для решения различных задач это не всегда удобно. Поэтому получим формулу для произвольного параметра .

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

(4)

соответствует точке , соответствует точке .

(4) непрерывно дифференцируемые функции параметра .

Запишем длину дуги , где - точка с текущими координатами.

.

Это формула длины дуги в параметрической форме, выраженная через определенный интеграл (с переменным верхним пределом ).

Найдем дифференциал дуги :

(5)

Если - плоская кривая, заданная явным уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция, то принимая «x» за параметр будем иметь:

.

В случае когда - плоская кривая, заданная полярным уравнением , где , то имея в виду, что и , получим:

.