Поверхностные интегралы 1-го рода. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.

Вычисление этих интегралов сводится к вычислению двойных интегралов.

Пусть задает поверхность . . Пусть в любой точке поверхности задана непрерывная функция . Построим интегральные суммы для поверхностного интеграла 1-го рода специальным образом.

1. Разобьем область на части произвольным образом:

.

Обозначим через часть поверхности , которая проектируется в . Поверхность окажется разбитой на n частей:

.

Определим площадь поверхности :

.

Применяя теорему о среднем к двойному интегралу, получим:

.

Составим интегральную сумму для поверхностного интеграла 1-го рода:

Переходя к пределу при будем иметь:

.

Эта формула выражает интеграл по поверхности через двойной интеграл по проекции поверхности на плоскость XOY. Аналогично получаются формулы, выражающие интегралы по поверхности через двойные интегралы по ее проекции на плоскость XOZ и YOZ:

При вычислении интегралов по поверхностям более сложного вида применяется предварительное разбиение этих поверхностей на части.

Пример.

-?

.

= = = .