Ажетті және жеткілікті шарт. Кванторлар

жиынында : “ саны 4 – ке еселі”, : “ саны жұ п” деген предикаттарғ а оралайық. Онда импликациясы “егер саны 4 – ке бө лінетін болса, онда ол жұ п” деген мағ ынаны береді. жиынындағ ы қ андай да бір санның жұ п екенін тұ жырымдау ү шін оның жұ п сан екенін білуіміз қ ажет, яғ ни мынаны білуіміз керек:

1. саны жұ п болуы ү шін оның 4 – ке бө лінуі жеткілікті;

2. саны 4 – ке бө лінетін болуы ү шін оның жұ п болғ аны қ ажетті;

жиынында анық талғ ан жә не предикаттарынан алынғ ан импликациясында предикаты предикатының логикалық нә тижесі екендігі белгілі болса, онда предикаты предикаты ү шін қ ажетті шарт, ал предикаты предикаты ү шін жеткілікті шарт деп аталады.

Жоғ арыдағ ы мысалда : “ саны 4 – ке бө лінеді” предикатының ақ иқ аттық жиыны ал : “ саны жұ п” предикатының ақ иқ аттық жиыны болады жә не болғ андық тан предикаты логикалық тү рде предикатынан келіп шығ ады. Сондық тан предикаты предикаты ү шін қ ажетті шарты, ал предикаты ү шін жеткілікті шарт блып саналады.

Сонымен, : “ саны жұ п” деген қ ажетті шарт предикатының ақ иқ ат болуы ү шін міндетті тү рде орындалатын шарт екенін кө реміз. Бірақ шарты предикатының ақ иқ ат болуына кепіл бола алмайды, ол ү шін жеткіліксіз, яғ ни кез келген жұ п сан 4 – ке бө лінбейді. : “ саны 4 – ке еселі” деген жеткілікті шарт предикатының ақ иқ ат болуы ү шін қ ажетті шарттан ә лдеқ айда артық болып саналады. Мысалы, 10 саны 4 – ке еселі емес, дегенмен жұ п сан.

“Қ ажетті шарт” деген сө здің “тек сонда”, “тек сол жағ дайда”, “сонда тек сонда ғ ана” деген сө здермен жиі алмастырылатынына кө ң іл бө лу керек, “Егер сан 4 – ке еселі болса, онда ол жұ п сан” деген импликацияны “егер сан 4 – ке бө лінсе, тек сонда ол жұ п сан болады” деп оқ уғ а болады.

Мынадай сө йлемді қ арастырайық: “Тө ртбұ рыш ромб болу ү шін оның диагональдарының ө зара перпендикуляр болуы қ ажетті”. Осы сө йлемді басқ аша қ ұ руғ а бола ма? “Ромбтың диагоналі ө зара перпендикуляр” деген сө йлем “Тө ртбұ рыш – ромб” деген сө йлемнен туады. Сондық тан жоғ арыдағ ы сө йлемді былайша оқ уғ а болады:

1. Тө ртбұ рыштың ромб болғ андығ ынан оның диагональдарының перпендикулярлығ ы шығ ады;

2. Кез келген ромбтың диагональдары ө зара перпендикуляр;

3. Егер тө ртбұ рыш ромб болса, оның диагональдары ө зара перпендикуляр болады;

4. Тө ртбұ рыштың диагональдары перпендикуляр болу ү шін оның ромб болу жеткілікті;

Бастауыш мектептің математика курсында “қ ажетті”, “жеткілікті” деген сө здер қ олданылмайды, бірақ олардың орнына бұ л сө здердің синонимдері “керек”, “болады” сө здері қ олданылады.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандары туралы мынадай ой айтуғ а болады:

а) Барлық берілген сандар бір орынды

б) Берілген сандардың кейбіреуі жұ п сандар

Бұ л сө йлемдердің ақ иқ ат не жалғ андығ ын анық тауғ а болатындық тан екеуі де пікір болады. Енді “а” сө йлемінен “барлық ” деген сө зді алып тастасақ “Берілген сандар бір орынды” деген сө йлем қ ұ рылады. Бұ л сө йлем пікірлік форма болады. Сонымен, бұ л пікірлік форманың алдына қ ойылғ ан “барлық ” сө зі оны пікірге айналдыратын екен.

“б” сө йлеміндегі “кейбіреуі” деген сө з “берілген сандар жұ п” деген предикатты пікірге айналдырып тұ р. Сонымен қ атар “бар болады” деген сө зді қ олданып та предикатты пікірге айналдыруғ а болады.

“Барлық ”, “бар” “болады”, “кейбір” деген сө здер кванторлар деп аталады. Осындай пікірлерді жазу ү шін жә не символдары пайдаланылады. символы “барлық ”, “ә рбір”, “кез келген”, “ә ртү рлі” деген сө здердің орнына қ олданылып, жалпылау кванторы деп аталады. символын “бар болады”, “қ андай болмасын”, “ең болмағ анда бір”, “табылады” сө здерінің орнына пайдаланып, оны бар болу кванторы деп атайды.

Мысалы: : “ , ” предикаты ү шін , тү ріндегі жазба “кез келген натурал саны ү шін тең сіздігі орындалады” деген пікірді білдіреді. Бұ л – пікір ақ иқ ат, ө йткені қ андай да бір натурал санды алсақ та, ү немі болады. Ал, , жазбасы “ тең сіздігі орындалатын натурал саны бар болады” деп оқ ылады. Бұ л пікір де ақ иқ ат. Сонымен, жиынында берілген қ андай да бір предикат болса, онда , деген жазба “ жиынындағ ы барлық ү шін орындалады” деген пікір болады. Бұ л пікірдің ақ иқ аттығ ын анық тау ү шін жиынынан кез келген а элементін алып, пікірінің ақ иқ ат екенін кө рсету керек. Егер де, жиынындағ ы ең болмағ анда бір а элементі ү шін жалғ ан болса, онда , жалғ ан пікір болады.

Мысалы, барлық жә й сандар жиынында : “ тақ сан” деген предикат берілсін. Сонда , жазуы “Барлық жә й сандар тақ ” деп оқ ылады. Бұ л пікір жалғ ан, себебі саны жә й, бірақ тақ емес, яғ ни “2 тақ сан” деген пікір жалғ ан. Егер жиынында анық талғ ан предикаты ү шін , жазуы берілсе, ол “ жиынында орындалатын бар болады” деп оқ ылады. Бұ л жазуды “ жиынынан орындалатын ең болмағ анда бір элементі табылады” деп те оқ уғ а болады.

жиынынан алынғ ан ең болмағ анда бір а элементі ү шін ақ иқ ат болса, , пікір ақ иқ ат болады. Егер ақ иқ ат болатындай жиынынан бірде бір элемент табылмаса, ол жалғ ан пікір болады. Мысалы, жә й сандар жиынында : “ саны жұ п” деген предикат берілсін. Сонда , пікір ақ иқ ат. Шындығ ында да жә й сандар жиынында саны табылып, “2 саны жұ п” деген ақ иқ ат пікір аламыз.

жә не кванторлары екі, ү ш, тағ ы сол сияқ ты орынды предикаттар ү шін де қ олданылады. Мысалы, барлық нақ ты сандар жиынында предикаты : “ ” берілген болсын. Сонда , , жазылуы “кез келген , нақ ты сандар ү шін ” тең дігі орындалады.

Барлық нақ ты сандар жиынында : “ ” предикатын қ арастырайық. Сонда , , жазылуы “кез келген нақ ты саны ү шін тең сіздігі орындалатын нақ ты саны бар болады” деген мағ ына береді. Бұ л пікір ақ иқ ат.