Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы

Кез келген ойтұ жырым “шығ ады”, “осы ойдан туады”, “осыдан шығ ады”, “егер..., онда” деген сө здерсіз қ ұ рылмайды. Мынадай екі сө йлемді қ арастырайық: А: “ саны 4 – ке еселі”, В: “ саны 2 – ге еселі”. Бұ л сө йлемдер бір – бірімен ө зара байланысты: 4 – ке еселі кез келген сан 2 – ге де еселі болады, немесе, басқ аша айтсақ, санның 4 – ке еселі болғ андығ ынан, оның 2 – ге еселі екендігі шығ ады немесе, егер сан 4 – ке еселі болса, онда 2 – ге еселі болады. Егер осы байламдық сө здерді екі пікір ү шін қ олдансақ, онда логикалық формасы “егер А, онда В”, “А – дан В шығ ады” тү ріндегі кү рделі пікір болады.

“Егер А, онда В” тү ріндегі пікір А мен В пікірлерінің импликациясы деп аталады.

А жә не В пікірлерінің импликациясын деп белгілеп, оны “егер А, онда В” деп оқ иды. А пікірі импликацияның шарты, ал В пікірі оның қ орытындысы деп аталады.

Импликацияның ә деттегі қ олданылуы математикалық логикадағ ы қ олданылуынан ө згеше. Ә деттегі сө йлемде біз импликация шарты мен қ орытындысының арасында қ андай да бір мағ ына немесе логикалық байланыс бар деп тү сінеміз.

Алайда, қ андай да бір мазмұ нды мағ ына беру қ иын болатын импликацияларда кездеседі. Мысалы, А – “бү гін қ ар жауып тұ р”, В – “108 саны 3 – ке бө лінеді” болса, импликациясы былай оқ ылады: “Егер бү гін қ ар жауып тұ рса, онда 108 саны 3 – ке бө лінеді”.

Логикада импликацияның ақ иқ аттығ ы немесе жалғ андығ ы оның шарттарының жә не қ орытындыларының ақ иқ аттығ ына немесе жалғ андығ ына байланысты болады деп келісілген.

импликациясы А ақ иқ ат, В жалғ ан болғ ан жағ дайдан ғ ана жалғ ан, ал басқ а жағ дайлардың барлығ ында да ақ иқ ат болатын кү рделі пікір, осы анық тама бойынша импликацияның ақ иқ аттық кестесі мына тү ре болады:

А	В
а	а	а
а	ж	ж
ж	а	а
ж	ж	а

Импликацияның ақ иқ аттығ ы мен жалғ андығ ы туралы қ абылданғ ан келісім кө п жағ дайда ың ғ айлы жә не математикада кең інен қ олданылады. “Егер 9 саны 3 – ке еселі болса, онда 81 саны да 3 – ке еселі” пікірінің ақ иқ аттық мә нін табайық. Мұ ндағ ы А – “9 саны 3 – ке еселі” – ақ иқ ат пікірі, В – “81 саны 3 – ке еселі” – ақ иқ ат пікір, олай болса, импликациясы да ақ иқ ат болады. Сонымен қ атар бұ л импликация тек қ ана “егер 9 саны еселі болса, онда саны 3 – ке еселі болмайды” деген жағ дайда ғ ана жалғ ан болады. Барлық басқ а жағ дайларда бұ л импликация ақ иқ ат болады.

“Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ғ а еселі” болады деген импликацияны қ арастырайық. А – “108 саны 5 – ке еселі” деген пікір импликацияның шарты, В – “108 саны 9 – ғ а еселі” деген пікір оның қ орытындысы. Берілген импликацияның А – шарты жалғ ан, ал В қ орытындысы ақ иқ ат. Сондық тан, “Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ғ а еселі болады” импликациясы ақ иқ ат болады.

“Егер болса, онда ” импликациясы жалғ ан, ө йткені оның шарты “ ” ақ иқ ат, ал қ орытындысы “ ” жалғ ан.

“Егер , онда ” импликациясы ақ иқ ат, себебі оның шарты да “ ”, қ орытындысы да “ ” жалғ ан.

Конъюнкциясы, дизъюнкция, теріске шығ ару импликация операцияларын пайдаланып ә ртү рлі кү рделі пікірлер қ ұ руғ а жә не олардың ақ иқ аттығ ын анық тауғ а болады. Мысалы:

тағ ы сол сияқ ты.

А жә не В пікірлерінің импликациясы берілген болсын. Оның шарты мен қ орытындысының орындарын ауыстырсақ , импликациясын аламыз. Оны берілген импликациясына кері импликация деп атайды. Мысалы, “Егер сіздің жасың ыз 16 – дан ү лкен болса, онда сіздің тө лқ ұ жатың ыз бар” деген импликация берілген болса, онда оғ ан кері импликация: “Егер сіздің тө лқ ұ жатың ыз бар болса, онда сіздің жасың ыз 16 – дан ү лкен” тү рінде болады.

Ө зара кері екі жә не импликацияларының конъюнкциясын, яғ ни тү ріндегі пікірді қ арастырып, осы пікірдің ақ иқ аттық кестесін қ ұ райық. Ол ү шін А мен В элементар пікірлерінің барлық мү мкін мә ндерін жазамыз (1, 2 – бағ ан).

А	В
а	а	а	а	а
а	ж	ж	а	ж
ж	а	а	ж	ж
ж	ж	а	а	а

, пікірлерінің мә ні импликацияның анық тамасы бойынша анық талады (3, 4 – бағ ан). , импликацияларын жеке пікірлер деп, олардың конъюнкциясы анық талады (5 – бағ ан). Кестеден пікірі тек А мен В пікірлерінің екеуі де ақ иқ ат немесе екеуі де жалғ ан болғ ан жағ дайларда ақ иқ ат болатынын кө реміз. Қ алғ ан жағ дайлардың барлығ ынада бұ л пікір жалғ ан. пікірін А , пікірлерінің мә ні импликацияның анық тамасы бойынша анық талады (3, 4 – бағ ан). , импликацияларын жеке пікірлер деп, олардың конъюнкциясы анық талады (5 – бағ ан). Кестеден пікірі тек А мен В пікірлерінің екеуі де ақ иқ ат немесе екеуі де жалғ ан болғ ан жағ дайларда ақ иқ ат болатынын кө реміз. Қ алғ ан жағ дайлардың барлығ ынада бұ л пікір жалғ ан. пікірін А жә не В пікірлерінің эквиваленциясы деп атайды жә не оны тү рінде белгілейді. жазылуы “В болғ анда жә не тек сонда ғ ана А болады” деп оқ ылады. Сонымен, эквиваленциясы А жә не В пікірлерінің екеуі де ақ иқ ат немесе екеуі де жалғ ан болғ анда ғ ана ақ иқ ат болады.

Мысал, А пікірі: “297 саны 3 – ке еселі” В пікірі: “297 санының цифрларының қ осындысы 3 – ке бө лінеді” болатын болса, онда берілген А мен В пікірлерінің эквиваленциясы былайша оқ ылады: “297 саны 3 – ке еселі болғ анда жә не тек сонда ғ ана оның цифрларының қ осындысы 3 – ке бө лінеді”. Бұ л эквиваленция ақ иқ ат, ө йткені оны қ ұ райтын екі пікірдің екеуі де ақ иқ ат.

“128+236=364 сонда жә не тек сонда ғ ана, 128=236” жалғ ан пікір.

Математикада қ ұ рамында бір немесе бірнеше айнымалысы бар сө йлемдер кө п кездеседі. Мысалы, саны 5-ке еселі, тағ ы сол сияқ ты. Бұ л сө йлемдердің ақ иқ ат немесе жалғ ан екендігі туралы ешнә рсе айта алмаймыз, сондық тан олар пікір бола алмайды. Егер сө йлемдегі айнымалының орнына белгілі бір мә н қ ойсақ, ол пікірге айналып, оның ақ иқ аттық мә нін анық тауғ а болады. сө йлемдегі –тің орнына мә нін қ ойсақ тү ріндегі ақ иқ ат пікір аламыз, ал болса, сө йлем тү рінде болып, ол жалғ ан пікір болады.

“ саны 5 – ке еселі” деген сө йлем де –тің кез келген натурал мә нінде пікір болады. Егер –тің орнына 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,... тағ ы сол сияқ ты нолмен 5 – ке аяқ талатын сандар қ ойсақ, онда бұ л пікір ақ иқ ат болады, ал –тің басқ а мә ндерінде ол жалғ ан.

тең деуінде екі айнымалы бар. Ол айнымалылардың орнына сандардың қ осын қ ойғ анда ғ ана пікірге айналады. Мысалы, егер , болса, ақ иқ ат пікір аламыз, ал , болса, жалғ ан пікір шығ ады.

Бір немесе бірнеше айнымалысы бар жә не олардың нақ тылы мә ндерінде пікірге айналатын сө йлем пікірлік форма немесе предикат деп аталады.

Предикатқ а енетін айнымалының санына қ арай бір орынды, екі орынды, ү ш орынды тағ ы сол сияқ ты предикаттар анық талады. “ саны 5 – ке еселі” деген предикаттар бір орынды, ал екі орынды предикат болады.

Осы предикаттардың ә рқ айсысында біз екі жиынды байланыстырамыз. Оның біріншісі – айнымалының мә ндері алынып, предикатты пікірге айналдыратын жиын. Екіншісі – айнымалының орнына қ ойғ анда сө йлемдерді ақ иқ ат пікірлерге айналдыратын мә ндер жиыны. Мысалы, предикатында ақ иқ аттық мә ндер жиыны болады.

Бірінші жиынды предикаттың анық талу жиыны, ал екіншісін оның ақ иқ аттық жиыны деп атайды.

Сонымен, қ андай да бір предикат берілген болса, онда ол мына екі жиынды байланыстырады:

1. Анық талу жиыны – айнымалының предикатты пікірге айналыратын барлық мә ндерінің жиыны;

2. Ақ иқ аттық жиыны – айнымалының предикатты ақ иқ ат пікірге айналдырытын мә ндерінен тұ ратын жиын.

Бұ л анық тамалардан екені белгілі.

Мысалы, “ саны 5 – ке еселі” деген предикаттың анық талу облысы барлық натурал сандар жиыны, ал ақ иқ аттық жиыны болып 0 – мен 5 – ке аяқ талатын барлық натурал сандар жиыны болады, яғ ни .

Бір орынды предикатты тү рінде белгілейді, мұ ндағ ы . жазылуы “ жиынында –тің предикаты берілген” деп оқ ылады. Егер –тің орнына жиынының кез келген бір элементін қ ойсақ, деген пікірді аламыз.

Предикат ұ ғ ымын ө зімізге белгілі бір айнымалысы бар тең деу, бір айнымалысы бар тең сіздік, екі айнымалысы бар тең деу, екі айнымалысы бар тең сіздік тағ ы сол сияқ ты ұ ғ ымдардың жалпы тү рі деп қ арауғ а болады.

Пікірлер сияқ ты предикаттар да элементар жә не кү рделі болады. Кү рделі предикаттар элементар предикаттарғ а “жә не”, “немесе”, “емес” логикалық байламдарын қ олдану арқ ылы алынады.