Теоремалар

Пікірлер, предикаттар жә не олардың қ олданылатын амалдар кө птеген тұ жырымдардың логикалық қ ұ рылымын айқ ындауғ а мү мкіндік береді.

Математикада теорема деп аталатын сө йлемдер жиі кездеседі. Теорема жә не оларды дә лелдеу математиканың барлық бө лімдерінде бар. Олар ә ртү рлі сипаттама болып келеді. Теорема мазмұ ны қ андай сипатта болғ анда да, оның ақ иқ аттығ ын дә лелдеу арқ ылы анық тайтын пікір болып табылады.

Ө зімізге белгілі математикалық логикалық ұ ғ ымдарын пайдалана отырып, теорема қ ұ рлысына байланысты мә селелерді анық таймыз. Мысалы, “егер натурал санның соң ғ ы цифры жұ п сан болса, онда ол екіге бө лінеді”. Бұ л теореманың натурал сандар жиынында берілген екі предикаттардың импликациясы екені белгілі. Егер кез келген натурал сан болса, онда : “ санның соң ғ ы цифры жұ п сан”, : “ саны екіге бө лінеді” предикаттарына жіктеліп теореманы тү рінде жазуғ а болады импликациясы натурал сандар жиынынан алынғ ан барлық ү шін ақ иқ ат болады дегенді білдіреді. Сондық тан импликациясының алдында жалпылау кванторын қ оямыз, сонда берілген теорема мына тілде болады: , жә не оны былай оқ иды “кез келген натурал сан ү шін болатын болса, онда ол ү шін да болады”.

Мысал: “Егер нү кте бұ рыштың биссектрисасында жатса, онда ол бұ рыштың қ абырғ аларынан бірдей қ ашық тық та болады” деген теореманы дә лелдейік. Бұ л теореманың шарты: “Нү кте бұ рыштың биссектрисасын да жатыр”, қ орытындысы – “Нү кте бұ рыштың қ абырғ аларынан бірдей қ ашық тық та болады” деген сө йлем. Осы теореманың шарты да, қ орытындысы да жазық тық тағ ы нү ктелер жиыны – берілген предикаттар екенін кө реміз. Шындығ ында да, “Нү кте бұ рыштың биссектрисасында” жатыр деген сө йлем, жиындағ ы нү ктелер ішінен сол бұ рыштың биссектрисасын бойында жатқ ан нү ктелер ү шін ақ иқ ат, ал басқ а нү ктелер ү шін жалғ ан болады. “Нү кте бұ рыштың қ абырғ асынан бірдей қ ашық тық та болады” деген сө йлем туралы да дә л осы ойды айта аламыз. Осы сө йлемдерді сә йкес жә не деп белгілейік, мұ ндағ ы айнымалысы жиынындағ ы кез келген нү кте. Сонда қ арастырып отырғ ан теорема осы предикаттардың импликациясын береді, яғ ни предикаты “Егер нү кте бұ рыштың биссектрисасын да жатса, онда ол бірдей қ ашық тық та жатыр” деп оқ ылып, ол жиынындағ ы барлық нү ктелер ү шін ақ иқ ат пікір болады. Мұ ны жалпылау кванторы арқ ылы былай жазылады: ,

Қ арастырылғ ан теоремалар жә не предикаттарының импликациясы екенін анық тадық. импликациясы ө зінің анық талу облысындағ ы кез келген ү шін ақ иқ ат болады. Сондық тан осы типтегі теоремалардың қ ұ рылысын ү ш бө лікке бө луге болады:

1. Теореманың шарты: жиынында берілген предикаты;

2. Теореманың қ орытындысы: жиынында берілген предикаты;

3. Тү сіндіру бө лігі: мұ нда теоремада сө з болып, объектілер жиыны баяндалады, теореманың символикалық жазылуындағ ы оның тү сіндіру бө лігіне жазуы жатады;

Теореманың сө збен берілуінде оны тү сіндіру бө лігі ә детте айқ ындалып кө рсетілмейді. Бірақ теоремамен жұ мыс істеу барысында (қ олданғ анда, дә лелденгенде) оны бө ліп айқ ындау қ ажет.

Кез келген теореманың сө збен берілгенде “егер”, “онда” сө зі бар болса, онда оның қ ұ рылысы мына тү рде болады: , мұ ндағ ы жиыны , предикаттары анық талатын жиын. “Егер”, “онда” сө зін қ олданбай қ ұ рылғ ан сө здердің қ ұ рылысы осындай болады: мысалы, “Ромбының диагональдары ө зара перпендикуляр” деген теореманы алайық. Бұ л теоремада егер барлық тө ртбұ рыштары жиыны ішінен кез келген ромбты алсақ, оның диагональдары ө зара перпендикуляр болады. Сондық тан, бұ л теореманы былай деп тұ жырымдай аламыз: “Егер тө ртбұ рыш ромб болса, онда оның диагональдары ө зара перпендикуляр болады” жазық тық тағ ы тө ртбұ рыштар жиыны деп, ал оы жиындағ ы кез келген тө ртбұ рышты деп белгілесек, бұ л теорема , тү рінде жазылады, мұ ндағ ы : “ тө ртбұ рышы – ромб”, : “ тө ртбұ рыштарының диагональдары ө зара перпендикуляр” деген предикаттар. Теореманың қ орытындысы ү шін қ ажетті шарты, ал шарты қ орытындысы ү шін жеткілікті шарт болады.

Осы терминдерді пайдаланып “Ромбының диагональдары ө зара перпендикуляр” деген теореманы былайша оқ уғ а болады:

1. Тө ртбұ рыш ромб болу ү шін, оның диагональдарының ө зара перпендикуляр болуы қ ажетті;

2. Тө ртбұ рыштың диагональдары ө зара перпендикуляр болу ү шін, оның ромб болу жеткілікті;

Кейде “қ ажетті” шарт, “жеткілікті” шарт деген сө здердің орнына “қ ажетті белгі”, “жеткілікті белгі” деген сө здер қ олданылады. Сандардың 9 – ғ а бө лінгіштігінің “Егер натурал санның цифрларының қ осындысы 9 – ғ а бө лінетін болса, онда ол санның ө зі де 9 – ғ а бө лінеді” деген белгіні қ арастырайық. Бұ л теореманы , тү рде жазуғ а болады. Мұ ндағ ы жазылуы теореманың тү сіндіру бө лігі, : “Натурал санның цифрларының қ осындысы 9 – ғ а бө лінеді” деген предикат теореманың шарты, ал : “натурал сан 9 – ғ а бө лінеді” деген предикат теореманың қ орытындысы.

Осы теореманы тү сіндіру бө лігінің орнында қ алдырып, оның шарты мен қ орытындысының орындарын ауыстырайық. Сонда , тү ріндегі жаң а теорема аламыз. Бұ л теорема былай оқ ылады: “Егер натурал сан 9 – ғ а бө лінетін болса, онда оның цифрларының қ осындысы 9 – ғ а бө лінеді”. Бұ л – алғ ашқ ы теоремағ а кері теорема деп аталады.

Егер жә не жиынында берілген предикаттар болса, онда , жә не , теоремалары ө зара кері теоремалар деп аталады. Олардың тү сіндіру бө лігі бірдей болады.

Мектепте тура жә не кері теоремалар жиі қ арастырылады. Ө зара кері теоремалар анық тамасынан олардың кез келгені тура теорема ретінде алуғ а болады, сонда екінші оғ ан кері теорема болып есептеледі. Жоғ арыда қ арастырылғ ан мысалдағ ы екі теорема да ақ иақ ат. Дегенмен ә рдайым бұ лай бола бермейді.

– барлық тө ртбұ рыштар жиынында : “тө ртбұ рыш – ромб ”, : “ тө ртбұ рышының диагональдары ө зара перпендикуляр” деген предикаттар берілсін. “Егер тө ртбұ рыш ромб болса онда оның диагональдары ө зара перпендикуляр” деген теореманы қ арастырайық. Бұ л теорема ақ иқ ат. Енді, осығ ан кері теорема , : “Егер тө ртбұ рыштың диагональдары ө зара перпендикуляр болса, онда ол ромб болады” тү рінде қ ұ рылады. Бұ л теореманың жалғ ан екенін кө рсетуге болады.

6 - сызба

6 – сызбада кескінделген АВСД тө ртбұ рышының диагональдары ө зара перпендикуляр болғ анымен ол ромб емес. Егер ө зара кері теоремалардың екеуі де ақ иқ ат болса онда оларды бір теоремаларғ а біріктіруге болады: , , яғ ни жиынында берілген жә не жиынында предикаттар эквивалентті. Мұ ндай жағ дайда , предикаттарының ә рқ айсысы қ ажетті жә не жеткілікті шарт болып саналады.

Алғ ашқ ы мысалғ а қ айта оралайық “Егер натурал саның қ осындысы 9 – ғ а бө лінетін болса, онда ол сан да 9 – ғ а бө лінеді” деген теореманы жә не оғ ан кері “Егер натурал сан 9 – ғ а бө лінетін болса, онда оның қ осындысы 9 – ғ а бө лінеді” деген теоремаларды біріктіріп, “Натурал сан 9 – ғ а бө лінуі ү шін оның цифрларының қ осындысы 9 – ғ а бө лінуі қ ажетті жә не жеткілікті” теорема тү рінде тұ жырымдауғ а болады. “Қ ажетті жә не жеткілікті” сө здерінің орнына “сонда тек сонда ғ ана” сө здері жиі қ олданылады.

, теореманың шарты мен қ орытындысы оның терістеуімен ауыстырайық , тү рінде жаң а теорема аламыз. Бұ л теореманы берілген теоремағ а қ арма-қ арсы теорема деп атайды. Мысалы, натурал сндар жиынында : “ санының ондық жазылуы нольмен аяқ талады” жә не : “ саны 5 – ке бө лінеді” предикаттары берілсін. Сонда, , теоремасы былай оқ ылады: “Егер натурал санның жазылуы нольмен аяқ талса, онда ол сан 5 – ке бө лінеді”. Ал бұ л теоремағ а қ арама-қ арсы теорема: “Егер натурал санның ондық жазылуы нольмен аяқ талмаса, онда ол сан 5 – ке бө лінбейді”.

Бұ л мысалдағ ы теорема ақ иқ ат, ал оғ ан қ арама-қ арсы теорема жалғ ан, себебі нольмен аяқ талмайтын, бірақ 5 – ке бө лінетін сандардың мысалын кө птен келтіруге болады (5, 15, 25,...).

, теоремасы берілген теоремағ а кері теореманың қ арама-қ арсы теоремасы болады. Сонда бұ л “Егер натурал сан 5 – ке бө лінсе, онда оның ондық жазылуы онмен аяқ талмайды” деген теорема “Егер натурал сан 5 – ке бө лінсе, онда оның жазылуы нольмен аяқ талады” деген теоремағ а қ арама-қ арсы, санмен қ атар “Егер санның ондық жазылуы нольмен аяқ талса, онда ол 5 – ке бө лінеді” деген теоремағ а кері тоерема.

Сонымен, , жә не , теоремалардың тең бе-тең екенін кө рдік, яғ ни егер , теоремасы ақ иқ ат болса, сонда тек сонда ғ ана , теорема ақ иқ ат болады. Бұ л факт қ арсы жорып дә лелдеу ә дісіне негізделген, яғ ни , теореманың ақ иқ аттығ ын дә лелдеу ү шін оғ ан кері теоремағ а қ арама-қ арсы теореманың ақ иқ аттығ ын дә лелдеу керек.

Қ арсы жорып дә лелдеу ә дісімен “Егер екі тү зу ү шінші тү зуге параллель болса, онда олар ө зара параллель болады” теоремасын дә лелдейік. Бұ л теореманың шарты : “ , тү зулері ө зара параллель” деген предикаттар болады. Теореманың қ орытындысын жалғ ан деп жориық, яғ ни , тү зулері параллель емес жә не олар бір нү ктесінде қ иылыссын. Бұ л жағ дайда тү зулердің параллельдік аксиомасы бойынша, , тү зулері бір мезгілде тү зуіне параллель бола алмайды. Сонымен, тү зуінің тү зуіне параллель еместігінен, , тү зулері тү зуіне бір мезгілде параллель болмайды, ол бұ л шартқ а қ айшы, олай болса пен параллель емес жору қ ате, яғ ни берілген теоремағ а кері теореманың қ арама-қ арсы теоремасы ақ иқ ат болады. Бұ дан берілген теореманың ақ иқ аттығ ы шығ ады.