Дизъюнкциясы және имплекациясы

жиынында предикаты берілген болсын. Оның кері предикаты дә л сол жиынында анық талғ ан жә не берілген предикат жиынының жалғ ан болатын мә ндерінде ғ ана ақ иқ ат болатын предикатты айтады. Оны деп белгілеп, предикатының терістеу деп атайды. Мысалы, “ ” предикаты жиынында берілсін. Оның ақ иқ аттық жиыны болады. Сонда, оның кері предикаты “ ”. Оның ақ иқ аттық жиыны болады. Бұ л жиын жиынының жиынына дейінгі толық тырылуы болады (1 - сызба).

1 - сызба

жиынында жә не екі предикаты берілсін.

элементар , предикаттарының конъюнкциясы деп жиынының жә не предикаттарының екеуі де ақ иқ ат болатын тү рдегі кү рделі предикатын айтады. Мысалы, жиынында “ ” жә не : “ жұ п сан” деген екі предикат берілсе, онда олардың конъюнкциясы : “ саны 8 – ден кем жә не жұ п сан” предикаты болады.

предикатының ақ иқ аттық жиыны ал предикатының ақ иқ аттық жиыны . “ саны 8 – ден кем жә не жұ п сан” предикатының ақ иқ аттық мә ндері болады. Олай болса ақ иқ аттық жиыны мен жиындарының қ иылысуына тең, яғ ни (2 - сызба).

2 - сызба

жиынындағ ы кү рделі предикаты жә не предикаттарының дизъюнкциясы деп аталады. Ол жиынының жә не предикаттарының, ең болмағ анда, біреуі ақ иқ ат болатын мә ндерінде ақ иқ ат болады. Мысалы, жиынында : “ саны 8 – ден кем” : “ жұ п сан” предикаттарының дизъюнкциясы “ саны 8 – ден кем немесе жұ п сан” болады. Сонда оның ақ иқ аттық жиыны яғ ни болады (3 - сызба).

3 - сызба

Теріске шығ ару, конъюнкция, дизъюнкция амалдарын пайдаланып берілген предикаттар арқ ылы кү рделі предикаттар қ ұ руғ а болады. Мысалы тағ ы сол сияқ ты. Жоғ арыдағ ы қ арастырылғ ан мысалдағ ы жиынындағ ы : “ саны 8 – ден кем” жә не : “ жұ п сан” предикаттарының кү рделі предикаттарының ақ иқ аттық жиынын табайық. предикаты “ саны 8 – ден кем жә не жұ п емес” деп оқ ылады. предикатының ақ иқ аттық жиыны екенін анық тағ анбыз. Ол предикаттың терістеуінің анық тамасы бойынша жиынының жиынына дейінгі толық тырылуы, яғ ни болады.

жиынында жә не предикаттары берілсін. предикаты ақ иқ ат, ал предикаты жалғ ан пікірлер болатын деп -тің мә ндерінде жалғ ан болатын кү рделі предикатты жә не предикаттарының импликациясы деп атайды.

Екі предикаттың импликациясы белгіленеді. жиынындағ ы – тің басқ а мә ндерінде предикаты ақ иқ ат болады.

1 – мысал. жиынында : “ саны 5 – ке еселі”, : “ саны тақ ” деген екі предикатты алайық. Сонда предикаты “Егер саны 5 – ке еселі болса, онда ол тақ сан болады” деген сө йлем болады. Осы предикаттың ақ иқ аттық жиынын табайық. жиыны предикатының жиыны предикатының ақ иқ аттық жиындары болсын. Сонда , болады. Эйлер – Венн диаграммасы арқ ылы осы жиындарды кескіндейік (4 - сызба).

4 - сызба

Импликацияның анық тамасы бойынша “егер саны 5 – ке еселі болса, онда ол тақ сан болады” деген предикат болғ анда ғ ана жалғ ан пікірге айналады. жиынының басқ а элементтер ү шін бұ л импликация ақ иқ ат болады. предикатының ақ иқ аттық жиыны . 4 - сызбада жиыны штрихталып кө рсетілген, сонымен қ атар жиыны жиынынан жә не жиынының жиынына дейінгі толық тырылуынан тұ рады, сонда .

Жалпы предикатының ақ иқ аттық жиыны предикатының ақ иқ аттық жиыны мен предикатының ақ иқ аттық жиынының жиынына дейінгі толық тырылуының бірігуінен тұ рады.

2 – мысал. жиынында : “ саны 4 – ке еселі”, : “ саны жұ п” деген предикаттарды қ арастырайық. импликациясы “Егер саны 4 – ке еселі болса, онда ол жұ п сан болады” деген предикатты береді. предикатының ақ иқ аттық жиыны , предикатының ақ иқ аттық жиыны . Бұ л жағ дайда яғ ни предикатының ақ иқ ат болатын жағ дайларының барлығ ында предикаты да ақ иқ ат болады.

жиынының кез келген мә нінде предикатының ақ иқ ат болатынын кө реміз. Олай болса, . Демек, “егер саны 4 – ке еселі болса, ол жұ п сан болады” деген предикат жиынындағ ы кез келген -тің мә нінде ақ иқ ат пікірге айналады. жиыны 5 – сызбада штрихталып кө рсетілген.

5 - сызба

Жалпы, жиынында берілген предикаты тек предикатының ақ иқ аттық жиыны предикатының ақ иқ аттық жиыны –нің ішкі жиыны болатын, яғ ни , жиынындағ ы –тің мә ндерінде ғ ана ақ иқ ат болуы мү мкін. Егер импликациясы оның анық талу облысындағ ы –тің барлық мә ндерінде ақ иқ ат пікірге айналатын болса, онда предикатын предикатының логикалық салдары деп атайды.

Сондық тан “Егер саны 4 – ке еселі болса, онда ол жұ п сан болады ” деген импликацияны “ санының 4 – ке еселі болатындығ ынан оның жұ п сан болатындығ ы шығ ады” деп айтуғ а болады. Егер жиыны жиынының ішкі жиыны болмаса, бұ лай тұ жырым жасауғ а болмайды.

Мектептің математика курсында анық талу облысындағ ы –тің барлық мә ндерінде ақ иқ ат болатын импликациялар жиі кездеседі. Мысалы: “Егер санның жазылуындағ ы цифрлардың қ осындысы 3 – ке бө лінсе, онда берілген сан 3 – ке бө лінеді” деген белгіні алайық. Бұ л импликацияда “берілген сан 3 – ке бө лінеді” деген предикат “санның жазылуындағ ы цифрлардың қ осындысы 3 – ке бө лінеді”деген предикат “санның жазылуындағ ы цифрлардың қ осындысы 3 – ке бө лінеді” предикаттың логикалық салдар болады.

Бастауыш мектепте натурал сандар жиынында анық талғ ан “Егер болса, ”, “Егер болса, онда ” тағ ы сол сияқ ты импликациялар кө птеп қ арастырылады.