Кіріспе. Мектептегі математика өз тарихында талай өзгеріске түсіп, толықтырылып, қайта өзгеріске ұшырап отырды

Мектептегі математика ө з тарихында талай ө згеріске тү сіп, толық тырылып, қ айта ө згеріске ұ шырап отырды. Математикалық білімнің дә йекті мә селелері іріктеліп, енгізгі бағ дар ретінде жинақ талып, жү йеленіп, басқ а ілімдердің табыстарымен қ абыстырыла, мектеп оқ улық тарына енгізіледі. Ол ү шін дидактикалық ө ң деуден ө ткізіліп, тә жірибелер жасалып, тү зетіліп, қ айта баяндалады.

Материалды іріктеуде қ оғ ам талаптары, оның дамуы ескеріледі. Дә стү рлі білім жү йесі мен қ азіргі білім жү йесін қ арастырайық. Математикалық білімнің жаң а кө зқ арастарын мұ ғ алім ө зі тү сініп, оны оқ ушығ а жеткізуі оң ай іс емес. Оғ ан қ ыруар кү ш, мемлекеттік қ омқ орлық.

1908 жылы Римде ІV халық аралық конгресте математикалық білімді жаң алау ү шін халық аралық сарапшылар тобы қ ұ рылды. Олар дә стү рлі математиканы оқ ыту мә селесіне арналғ ан 250 кітап жазды. Ә рбір елге арнап, жаң а бағ дарлама қ ұ растырды. Сол бағ дарламағ а сай оқ улық тарды, оқ ыту ә дістемесін қ ұ растырды.

Алайда, жиырмасыншы ғ асырдың екінші жартысында математика ел қ уатын, экономикасын анық таушығ а айналды. Осыдан да 1950 жылы математикалық білімді жаң алаушы интернационалдық алқ а, ал 1958 жылы ғ ылымдар бірлестігінің Ғ ылыми тобы қ ұ рылды. 1959 жылы ол топтан мектепте математиканы оқ ытудың жаң а кө зқ арасын зерттеу бө лімі бө лініп шық ты. Олар алдына екі мақ сат қ ойды:

1. Математика ғ ылымы мен математика пә нінің арасын жақ ындастыру;

2. Міндетті тү рде барлық оқ ушының шығ армашылық бастамасын ояту жә не ерікті тү рде математиканың бір бағ дарын таң дауғ а мү мкіндік беру.

Математикалық білімнің халық аралық алқ асы ө з жұ мыстарының нә тижелерін 1958 жылы Эдинбургте, Стокгольмде, Мә скеуде ө ткен математикалық халық аралық конгрестерінде қ арап, 1965 жылы Парижде шық қ ан “Орталау дең гейде математиканы оқ ытудың жаң а кө зқ арастары” деген басылымда жә не мемлекеттік басылымдарда жарияланды.

Оларды талдап, сынғ а салудың қ орытындысында:

1) жиындар теориясының тү згіштерін;

2) математикалық логикағ а кіріспені;

3) қ азіргі алгебра ұ ғ ымдарын;

4) ық тималдық тар теориясы мен статистикағ а кіріспені мектеп бағ дарламасына енгізуіне ұ сынады.

Осыны бағ дарғ а алып, бұ рынғ ы Кең ес елінде 60-жылдардың ортасында эксперименттер жү ргізіліп, математика бағ дарламалары қ ұ растырылып, оқ улық тар жазылды. Бү кіл алгебра, геометрия математикадан қ осымша ә дебиеттер осы негізде жасалды. Мектеп мұ ғ алімдері қ айта даярлық тан ө ткізіліп, математиканы оқ ыту ә дістемелері жаң адан жазылды. Сондай- ақ, жоғ ары мектеп бағ дарламалары ө згертіліп, алуан тү рлі оқ у жү йесі пайда болды.

Бұ л шаралар ойдағ ыдай нә тиже бермеді. Жиындар теориясы мен математикалық логика тү згіштері негізінде жаң аланғ ан білім оқ ушығ а да, мұ ғ алімге де ауыр болып, кө здеген мақ саттан шық пады.

Векторлар мен координаталар жү йесі мектеп оқ у қ ұ ралдарынан орын алды. Оларды оқ ытудың ә дістемелік жү йесі ә лі де жетілдіріліп, оқ ыту мазмұ ны нақ тылана тү сетіні айқ ын.

Бұ рынғ ы Кең ес ө кіметі тарап, еліміз егемендік алғ ан кезде, нарық қ а кө шу саясатында математикалық білімнің мазмұ нына жаң а талаптар қ ойылғ аны хақ. 1991 жылы Қ азақ стан Республикасы Білім министрлігі жанынан қ ұ рылғ ан алқ а ө з жұ мысын бастады.

Алдағ ы уақ ытта бұ л оқ улық тр ө мірдің ағ ымына сай толық тырылып, сарапталып барша оқ ушы қ ауымғ а жеткізілетіндігіне кү мә н жоқ.

“Математика” деген атауыштық есім ежелгі гректер тіліндегі “mathema” (білу, білік, ілім) жә не “tehnica” (ө нер, ісмерлік, шеберлік) деген мағ ынадағ ы ә ртү рлі екі сө здің қ июласуынан жасалғ ан кү рделі қ ұ рылымғ а жатады. Бұ л қ ұ рамды сө з, ә у баста, “білу ө нері” яки “біліми ө нер” деген мағ ынада қ олданыс тапқ ан. Оқ ыту мен ғ ылым дү ниесінде “математика” сө зін осы айтылмыш мағ ынасында алғ аш тұ тынғ ан адам – ол ежелгі грек жұ ртының ә лемге аян данагері ә рі ө нерпазы Пифагор (б.з.б. 580-500 жж.) болғ ан.

Пифагор жә не оның ізбасарлары мен шә кірттері – “пифагорейшілдер” ө здерінің дү ние танымдық ұ раны етіп, “Бә рі – сан” деген қ алыптамалық қ ағ иданы ұ станғ аны тарихқ а танымал шындық. Бұ л қ алаптаманы тарқ ата талдасақ, одан фифагордың: “дү ниедегі бә р нә рсе саннан жасалғ ан жә не тек саннан тұ рады” – деп пайымдағ анын кө руге болады. Сондық тан да, Пифагорды – сандар математикасының атасы деп атағ ан.

Пифагор заманында сан деп, негізінен, натурал сандар жиыны ұ ғ ылғ ан. Пифагордың ө з анық тауы бойынша: “Сан дегеніміз тақ тар мен жұ птардың жиналымы”. Пифагор “бірлікті” сан ғ ана емес “санды жасаушы” деп атағ ан. Оның тұ жырымы бойынша ә рбір сан бірліктер жиынтығ ынан (қ осындысынан) тұ рады.

Мысалы: 3=1+1+1; 8=1+1+1+1+1+1+1+1.

Қ азіргі замандық яғ ни 20 – ғ асырдағ ы білімтану жү йесінде математика былайша анық талады:

1 – анық тама. Қ азіргі заманғ ы аксиоматикалық қ алыптама тұ рғ ысынан алып қ арағ анда математика деп абстракциялық форма – математикалық структуралар жиналмасын ұ ғ ады. (Н.Бурбаки)

Мұ ндағ ы “структура” (қ азаша: қ ұ рылым) деген ұ ғ ыми сө здің мағ ынасы “операция” (амал) жә не “қ атынас” деген ұ ғ ымдар арқ ылы анық талып кө рсетіледі.

2 – анық тама. Егер қ андай да бір А жиынында Т деген амал жә не Р қ атынас енгізілсе, онда А жиынын структура (қ ұ рылым) деп атайды.

Егер А жиынында Т математикалық амал жә не Р математикалық қ атынас берілсе, онда А жиынында Р – математикалық структура анық талғ ан дейміз. Ал А жиынында Т логикалық амал мен Р логикалық қ атынас енгізілген болса, онда А жиынында логикалық қ ұ рылым жасалғ ан деп айтуғ а болады. Осы ү лгімен “грамматикалық структура”, “биологиялық структура” т.с.с. деген ұ ғ ыми тіркестер жасалғ ан.

А жиынында Т амал мен Р қ атынас арқ ылы анық талғ ан S – математикалық қ ұ рылымды (структураны) қ ысқ аша былай белгілеп жазады:

Мұ нда: 1) А – базалық (тұ ғ ырлық) жиын; 2) а – жекеленген элемент; 3) Т – операция; 4) Р – қ атынас.

Бү гінгі белгілемелік, қ алыптамалық тілде Пифагордың сандық математикасы мынадай сандық қ ұ рылым деп қ арауғ а болады:

Мұ нда: 1) – қ ұ рылымның тұ ғ ырлық жиыны; 2) 1 – бірлік сан, қ ұ рылымның жекеленген элементі; 3) – математикалық амалдар; 4) – математикалық қ атынастар.

Сө йтіп, байырғ ы сө йлеу тілімізде Пифагордың сандық математикасын былайша анық тауғ а болатынын кө реміз:

Пифагордың сандық математикасы деп – оң таң балы бү тін сндар жиынындағ ы бірлік элемент жекеленген жә не сол жиынның элементтері ү шін “қ осу”, “алу”, “кө бейту”, “бө лу” амалдарымен қ атар “тең ”, “кіші”, “ү лкен” қ атынастары анық талғ ан – математикалық қ ұ рылымды айтады.

Қ азіргі біліми тілде “операция” (амал) сө зі ә р алуан тү рлендіргіш ә рекетті яки қ ызметті белгілейді. Математикалық амал “бейнелеу” деп аталатын танымдық ұ ғ ым арқ ылы анық талады.

Мысалы. 3+4=7 тең дігін алайық. Бұ л ө рнекті қ азіргі заман математиктері: “Қ осу амалы (3, 4) қ осын 7 санына бейнелейді” – деп қ арастырады. Бұ л сө йлемді белгілемелер тілінде мынадай қ алыптама арқ ылы жазып кө рсетуге болады:

Жалпы танымдық тілде: (3, 4) қ осты бейнелеудің тү пнұ сқ асы, ал 7 санын оның бейнесі немесе бейнелік кө шірмесі деп атайды.

Математикалық білім атаулының тү бегейлік мақ саты ақ иқ аттығ ы бұ рыннан тағ айындалғ ан белгілі бір ойқ орытындыларына сү йене отырып, қ андай да бір жаң а ойқ ортымның ақ иқ аттығ ын (растығ ын, дұ рыстығ ын) дә лелдеу боп табылады. Сондық тан да, ғ ылым танымгерлері дә лелдеу амалын математиканың жү регі немесе жаны деп атайды. Математикалық ойқ орытуларда дә лелдеу амалының қ ажеттігі мен мү мкіндігін алғ аш атап кө рсетуші адам – олежелгі гректерден шық қ ан ә йгілі жеті данагердің кө ш басшысы Фалес (б.з.б. 625-548) болғ ан. Фалестің дә лелдеу туралы ойын сандар математикасында тұ ң ғ ыш рет Пифагор қ олданғ ан.

Математикалық дә лелдеу жайында Фалес пен Пифагор алғ аш бастап салғ ан жолды тиімді жалғ астырып, оны, шын мә нінде, ғ ылыми шың ына алғ аш жеткізуші ежелгі грек математигі Евклид (б.з.б. 356-300) болғ анын тарихтан білеміз. Ғ ылым тарихында Евклид, заң ды тү рде, ғ ылыми математиканың атасы деп аталады.

Қ азіргі замандық математиканы “қ ұ рылымдар математикасы” деп анық таушы Никола Бурбаки болғ анын жоғ арыда айттық (Н.Бурбаки 20 – ғ асырдағ ы Францияның бір топ талантты математиктерінен қ ұ рылғ ан жасырын ұ жымның бү ркеншек аты).

Бурбакишілдер: “Ежелгі гректер заманынан бері қ арай “математика” деп айту “дә лелдеу” деген сө збен пара-пар айтылады” –деп кө рсетеді.

Алдың ғ ы айтылып ө ткен: “бейнелеу”, “амал”, “ә рекет”, “дә лелдеу” – деген танымдық сө здердің баршасы білім ә леміне логика пә ні арқ ылы келіп енген атауыш сө здер қ атарына жатады. Сонымен қ атар олардың мазмұ ны мен танымдық мағ ыналары тек логика пә ні ауқ ымында ғ ана толық ә рі айқ ын ашып кө рсетіледі. Сондық тан, ендігі сө з логика туралы болмақ.

“Логика” сө зі, ә у баста, ежелгі гректер тіліндегі “logos” (сө з, ой, сана) деген сө зінен шығ ып қ алыптасқ ан. Білім тарихын зерттеушілер “логика” сө зін ғ ылымғ а алғ аш енгізген адам – ол ежелгі грек білімпазы Демокрит (б.з.б. 460-370) болғ ан деп кө рсетеді. Демокрит “Ойлау ережелері” деген ғ ылыми ең бек жазғ ан. Осы тарихи шығ арманың айдарлық тақ ырыбына “логика” пә нінің аты келіп шық қ ан.

Логика басында дү ниетану мә селелерін зерттейтін жалпы философиялық білімнің бір саласы ретінде дү ниеге келеді. Ол дара пә н боп б.з.б. ІV ғ асырда қ алыптасқ ан. Ө здік зерттегіш ә дісі жә не зерттеу нә рсесі бар логика атты дара пә ннің негізін алғ аш рет ә лемнің бірінші ұ стазы атанғ ан ә йгілі білімпаз, ежелгі грек данагері Аристотель (б.з.б. 384-322) қ алағ ан. Ғ ылыми білімнің тарихшылары мен танымгерлері Аристотель логикасын ақ иқ атты ашу жә не негіздеу қ аруы (органон) немесе “дә лелдеу туралы ғ ылым” деп атайды.

Орта ғ асырлық Қ азақ стандағ ы байырғ ы шаһ арлардың бірі Отырар (арабша аты Фараб) қ аласының тө л тумасы, ә лемнің екінші ұ стазы (Аристотельден кейінгі ұ стаз) атанғ ан Абу – Насыр ә л – Фараби (870-950) Аристотель логикасын терең талдау, кемелдендіре кең ейту жә не жалпақ жаһ анғ а жарлап тарату жұ мыстарымен ұ зақ жылдар бойы айналысады. Ол ө зінің философияны оқ ып ү йренуге қ ажетті білімдер тізімін анық тайтын ең бегінде тілтану оқ уын бірінші, ал логиканы екінші орынғ а қ ойып қ арастырады.

Екінші ұ стаз тағ ы бір шығ армасында логиканы сө здер грамматикасымен салыстыра қ арайды. “Грамматика – деп пайымдайды ол, - адамдардың сө йлеу тілін қ алай туралайтынын қ арастыратын болса, логика ғ ылыми қ ателер жіберу қ атері туғ ан тұ ста адам ойының дұ рыс болуын солай туралап отырады”.

Алдың ғ ы айтылғ андардан, логиканы ақ иқ атқ а жету ү шін қ алай дұ рыс ойлай білу керек екендігін зерттейтін ғ ылым деп қ арауғ а болатынын кө реміз. Логика пә нінің нақ ты мақ саты мен мазмұ нын айқ ын ашып тү сіндіру ү шін, ә уелі, “ойлау”, “ақ иқ ат ой”, “дұ рыс ой” деген ұ ғ ымдардың мазмұ нын айқ ындап алғ ан абзал.

Ойлау адам арқ ылы мен санасының ә рекеттік қ ызметіне жатады. Адамның ойлау органы – ми. Оның ойлау қ ызметі туралы ұ ғ ым “бейнелеу” жә не “тану” деп аталарын тү птектік ұ ғ ымдар арқ ылы анық талады.

3 – анық тама. Айналадағ ы нә рселер мен қ ұ былыстардың адам санасындағ ы бейнеленуін тану деп атайды. Танудың нә тижесін таным немесе білім дейді. Тану ә рекеті іске асырылу сипатына қ арай екі тү рлі дең гейге жіктеліп қ арастырылады: 1) сезім дең гейіндегі тану; 2) ақ ыл-ой, ой- сана дең гейіндегі немесе рационалдық дең гейдегі тану.

Сезім арқ ылы тану қ ызметі тү йсіну, қ абылдау жә не елестету – деп аталатын амалдар жү йесі арқ ылы іске асырылады. Бұ ларды тікелей тану немесе алшақ тамай тану жолдары деп те атайды. Тікелей (аулақ тамай) танудың ө здік логикасы бар, оны сезу логикасы деп атайды. Бұ л логиканың ауқ ымында: “қ уаныш”, “реніш”, “ү міттеніс”, “тү ң іліс” т.с.с. ұ ғ ымдар қ арастырылады.

Ақ ыл-ой яғ ни саналы (рационалды) тү сінім дең гейіндегі тану қ ызметі ойлау, пайымдау, ұ ғ ыну ә рекеттері арқ ылы атқ арылады. Бұ ларды, кө бінесе, тікелей емес тану немесе аулақ татып тану деп те атайды.

4 – анық тама. Ойлау деп шынайы ө мірдегі нә рселер мен қ ұ былыстардың сө з арқ ылы адам санасындағ ы тү рлендірілуін айтады.

Сө йтіп, ойлау дегеніміз ақ ыл – ойдың тануы яғ ни бейнелеу немесе тү рлендіру ә рекеттері арқ ылы іске асырылатын ми қ ызметі екенін кө реміз. Айналамыздағ ы танылатын нә рселер мен қ ұ былыстарды бір сө збен айтқ анда, затиялық нә рселер немесе заттық нә рселер деп қ арауғ а болады. Ал затиялық нә рселердің адам санасындағ ы кө шірмесін (кескінін, суретін, бейнесін) санауялық нә рселер (идеялар, ойлар) деп атайтын боламыз.

Ақ ыл-ойғ а ұ ялағ ан санауялық бейненің затиялық формасы (қ алыбы) сө з болып табылады. Сө з – ойдың сыртқ ы қ абы немесе қ алыбы (формасы) болып есептеледі.

Сө йтіп, ойлау амалының қ алыбы мен қ аруы сө йлеу тілінің сө здері боп саналатынын кө реміз. Сө з адам санасындағ ы нышандық белгілемесі (символикасы), қ алыптамасы (формасы) жә не ойды туғ ызушы, жасаушы боп қ ызмет атқ арады. “Сө з сө зден туады сө йлемесе қ айдан туады” деген халық даналығ ы сө здің осындай ой тудыратын, ой сақ тайтын жә не ойды жеткізетін қ ұ дыретті қ асиетімен байланысты айтылғ ан деуімізге болады.

Алдың ғ ы айтылғ андарды тілге тиек, ойғ а арқ ау ете отырып, логика пә нін осылайша анық тауғ а болады.

5 – анық тама. Логика – ақ иқ ат жә не дұ рыс ойлаудың формасы (қ алыбы), заң дары мен ережелері туралы ілім.

Ойлаудың формасы (қ алыбы) деп шынайы ө мірдегі нә рселердің қ асиеттері мен қ атынастарын бейнелеу ә дістерін атайды. Логика пә нінде, негізінен, ү ш тү рлі ойлау қ алыбы қ арастырылады. Олар: 1) “ұ ғ ым”; 2) “пайым” жә не 3) “ойқ орыту” деп аталады. Ойлау формаларының ә рқ айсысына белгілі бір тұ лғ алық қ ұ рылым тә н болып келеді. Бұ л қ ұ рылымдарды ө рнектеп кө рсету ү шін арнаулы белгілемелер (символикалар) жү йесі қ олданылады. Осындай белгілемелер тілінде ө рнектелген ойды формальданғ ан (қ алыптанғ ан) ой деп атайды. Ой біткеннің нақ тылы мазмұ ны жә не айқ ын қ ұ рылымы болады. Ой мазмұ нын сол ой бейнелейтін нә рселердің қ асиеттері мен қ атынастары жасайды. Ойдың қ алыбы (формасы) немесе қ ұ рылымы (структурасы) боп ой бө лшектерін қ ұ рмаластыру жолдары саналады. Ой мазмұ нына қ арай ақ иқ ат жә не жалғ ан болып екіге бө лінеді.

6 – анық тама. Шынайы ө мір нә рсесі мен қ ұ былысының адам санасында дә лме-дә л жә не бекім бейнеленуін ақ иқ ат ой деп атайды. Ақ иқ ат ойғ а қ арама – қ арсы мазмұ ндағ ы бейнелеуді жалғ ан ой деген сө з арқ ылы атап кө рсетеді.

Сө йтіп, “ақ иқ ат-ой” немесе қ ысқ аша “ақ иқ ат” деп мазмұ ны шынайы шындық ты дә лме – дә л бейнелейтін ой ғ ана айтылатын кө реміз. Егер ой мазмұ ны жағ ынан шынайы шындық қ а сә йкеспейтін болса, яғ ни шындық ты бұ рмалайтын болса, ондай ойды “жалғ ан ой” қ атарына жатқ ызуғ а болады.

Формасы (қ алыбы) немесе структурасы (қ ұ рылымы) жағ ынан алғ анда ой дұ рыс (тура) ой жә не дұ рыс емес (қ ате) ой боп екі жікке бө лінеді.

Ойдың ақ иқ аттығ ы мен дұ рыстығ ы ә рқ ашан бір-бірімен етене байланыста боп келеді.

Тану барысында анық ақ иқ атқ а жету ү шін мынадай екі шарттың мү лтіксіз орындалуы лә зім: 1) ойлауғ а арқ ау болатын тү птұ ғ ырлық, бастамалық ойлар ақ иқ ат болуы шарт; 2) ой қ ұ рылымы жағ ынан дұ рыс болуы тиіс.

Ойдың ақ иқ ат ә рі дұ рыс болуын ұ йымдастыратын жә не қ адағ алайтын біліми пә н логика деп аталады.

Математикалық логиканы, екінші сө збен, символикалық (белгілемелік) логика деп атайды. Кейде бұ л атаулармен қ атар “теориялық логика” деген атауыш сө здер тіркесі де қ олданылады. Ойлау қ ызметінің формаларын, заң дарын жә не ә дістерін зерттейтін ғ ылымды білімтану жү йесінде формальдық логика (Аристотель логикасы, дә стү рлік логика немесе жалпы логика) деп атайтынын білеміз. Логика пә нінің даму трихында ойлау заң дары мен ережелерін баяндау ү шін символикалық тілді алғ аш бастап қ олданушы адам Аристотель болғ аны жоғ арыда айтылды. Сондық тан дә стү рлік логиканы белгілемелік яғ ни математикалық логиканың бұ лақ тық бастауы немесе тү птегі деп қ арауғ а ә бден болады. Алайда, Аристотель логикасының басты баяндау тілі адамның байырғ ы сө йлеу тіліндегі сө здер жү йесі боп келеді. Табиғ и тілдің сө здері қ ашанда кө п мағ ыналы белгілемелік қ ұ рал болғ андық тан, олар сө йлеу нә рселерін адам санасында дә лме-дә л бейнелей алмайды. Сондық тан дә стү рлік логиканың баяндау тілін математикаланғ ан белгілемелік тілмен немесе формальданғ ан жасанды тілмен жабдық тау қ ажеттігі кеп туғ ан. Ғ ылым атаулыны ә мбебап (универсал) белгілемелік тіл арқ ылы баяндау идеясын алғ аш ұ сынғ ан адам ол немістің ұ лы математигі ә рі философы Г.В.Леибниц (1646-1716) болғ ан. Соның бағ дарламалық пайымдамасы бойынша бір ғ ылымды ә ркімге ұ ғ ынық ты ортақ ә мбебап тілмен баяндау ү шін, алдымен, “адамзат ойының ә ліпбиі” жасалуы тиіс. Ондай ә мбебап ә ліпби екілік санау жү йесі негізделген математикалық тілден тұ руы керек. Г.В.Леибництің осы бағ дарламалық ойына қ арап, оны қ азіргі замандық математикалық логика пә ні мен кибернетикалық техниканың теориясын ашуғ а алғ аш жол нұ сқ ағ ан данышпан деп санайды.

Логикалық ой - қ ұ рылымын математикалық есептемелер арқ ылы ө рнектеу жә не оны тү рлендіру жолын іс жү зінде алғ аш жасағ ан адам, ол ағ ылшынның кемең гер математигі ә рі логигі Джордж Буль (1815-1864) болғ ан. Ол ө зінің “Логиканың математикалық талдамасы” (1847 ж.) жә не “Ойлау заң дарын зерттеу” (1854 ж.) деп аталатын ғ ылыми ең бектерінде логикалық қ алыптамалар мен қ ұ рылымдарды баяндауғ а ө з заманындағ ы алгебралық ә дістерді кең інен пайдаланады. Соның нә тижесінде қ азіргі кезде “Буль алгебрасы” деп аталып жү рген жаң а пә ннің негізі қ аланады. Математикалық логиканың баяндау тілі ретінде жасалғ ан “Буль алгебрасы” қ азіргі замандық электронды есептегіш машиналардың (ЭЕМ-дың) логикалық жә не есептегіш тетіктерін жасауда жә не олардың қ ызметін модельдеуде кең інен қ олданылады.

Сө йтіп, Аристотельдің дә стү рлік логикасы Буль алгебрасының арқ асында математикалағ ан символикалық логика қ алпына келтіріледі. Осы ахуал формальдық логика теориясының қ ұ рылымы мен қ ызметін терең деп зерттеуге математикалық ә дістерді кең інен қ олдануғ а тө те жә не даң ғ ыл жол ашты. Соның нә тижесінде дә стү рлік логика табиғ и тілмен қ атар жалпы формальдық тіл атаулыны зерттейтін металогика деп аталатын жаң а білім саласының ө мірге келуіне себеп болды. Мұ ндағ ы “meta” – грек сө зі, қ азақ ша: “кейінгі”, “келесі” деген мағ ыналы сө здерге сә йкес келеді. Сондық тан “металогика” сө зі “логикадан кейінгі пә н” яғ ни “логиканы зерттейтін келесі пә н” деген мағ ынаны білдіреді.

Осылайша мазмұ ндық ауқ ымы барынша кең ейтіліп, ә дістемелік қ аруы кемелденген логика білімі 19 – ғ асырдың аяқ шенінде математиканың негіздемелік мә селелерін терең деп зерттеуге батыл да байыпты жұ мсала бастайды. Айтылмыш бағ ыттағ ы ғ ылыми зерттеулер саласында айтарлық тай табысты ең бек етіп, логикалы – математикалық білімге ү лкен ү лес қ осқ ан кемең гер математиктер мен логиктердің кейбіреуін атап білген абзал. Математиканы логикаландыру бағ ытында алғ аш бастап ө німді де ө релі ең бек етуші ғ алымдардың бірі – немістің математигі ә рі логигі Г.Фреге (1848-1925) болғ ан. Ол математика атаулыны логика тілі арқ ылы негіздеуге батыл талпыныс жасайды. Ғ ылым танымгерлері Г.Фрегенің 1870 жылы жарық кө рген “Ұ ғ ымдар есептемесі” атты ең бегін математиканы логикаландырудың немесе математиканы формальдандырудың бастамасы болады деп санайды. Бұ л игі бастаманы іле жалғ астырып дамытушылар: Италияның ә йгілі математигі Дж.Пеано (1858-1932), ағ ылшын математигі ә рі философы Б.Рассель (1872-1970) жә не немістің кемең гер математигі Д.Гильберт (1862-1943) болды. Осы аталып ө ткен танымал математиктер мен талантты логиктердің табанды да табысты ең бектерінің арқ асында Метаматематика (математикадан кейінгі пә н немесе математиканы зерттейтін келесі пә н) деп аталатын ғ ылымтанымдық жаң а пә н жасалды.

Метаматематика ілімі математиканың негіздемелік жә не дә лелдемелік мә селелерін формальданғ ан логиканың ә дістерімен зерттейтін математикалық логика пә нінің жаң а бір саласы болып табылады.

Алдың ғ ы айтылғ андардың бә рін салыстыра сараптай айтар болсақ, “математикалық логика дегеніміз не? ” деген сауалғ а сай келетінін жасуапты бір сө збен мынадай қ алыптама тү рінде беруге болатын секілді:

Математикалық логика = математикаланғ ан логика + логикаланғ ан математика.

Бұ л дипломдық жұ мыстың мақ саты: мектеп қ абырғ асында жә не де жоғ ары білім беру ордаларында оқ ытылатын математикалық логика элементтері пә нінің кейбір тұ старын нақ тылап, мысалдар келтіру арқ ылы айқ ындап кө рсету.