Выпуклые множества и выпуклые функции. Определения, критерии выпуклости.

Опр. Пусть X – векторное пространство. Множество называется выпуклым, если Т.е. содержит вместе с точками весь отрезок, соединяющий их.
. Примеры: шар, отрезок, .

Опр. Пусть X – векторное пространство, – выпуклое. называется выпуклой, если выполняется следующее условие: т.е. если две точки графика функции соединить отрезком, то график функции будет лежать ниже этого отрезка.

Для выпуклых функций вводят расширение, т.е. В этом случае будем учитывать следующие арифметические операции:

Для выпуклых функций обычно задают индикаторную функцию, действующую следующим образом:

Теорема. Подмножество называется выпуклым является выпуклой функцией.

Опр. Пусть – выпуклое подмножество. называется надграфиком или эпиграфом.

Теорема. называется выпуклой – выпуклое множество.