Свойства выпуклых функций.

1. Пересечение конечного числа выпуклых подмножеств есть выпуклое подмножество.

2. – упорядоченное семейство выпуклых подмножеств, т.е. такое, что
Тогда объединение подмножеств из семейства является выпуклым подмножеством.

3. Если – выпуклые функции и то – выпуклая функция и – выпуклая функция.

4. - выпуклая функция, то – выпуклая функция.

Зам. Если дважды непрерывно-дифференцируема на , то выпуклость равносильна положительной определенности матрицы ее вторых производных. В этом случае используется критерий Сильвестра.

Теорема: Пусть - симметричная матрица. Тогда:

1. Матрица положительно определена , когда все её последовательные главные миноры положительны, т.е.

2. Матрица отрицательно определена , когда все её последовательные главные миноры чередуют знак, начиная с отрицательного, т.е.

3. Матрица неотрицательно определена , когда все её главные миноры неотрицательны, т.е.

4. Матрица неположительно определена , когда все её главные миноры чередуют знак, начиная с неположительного, т.е.

Свойства отделимости в n-мерном пространстве. Пусть – непустые, выпуклые множества, являющиеся замкнутыми и, хотя бы одно из них является открытым. Тогда такое что выполняется Это свойство является свойством сильной отделимости.