С постоянными коэффициентами

Интегрирование линейных однородных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

[2], гл.I, §4, 5.

В задании 2б) контрольной работы №2 частное решение у_чн можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части можно заранее указать вид частного решения, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем найти его без всяких квадратур в следующих случаях:

1) правая часть – многочлен;

2) правая часть – е^mx[acos(nx)+bsin(nx)];

3) правая часть есть сумма или произведение предыдущих функций.

Общее решение у_он линейного неоднородного уравнения равно сумме какого-либо его частного решения у_чн и общего решения у_оо соответствующего однородного уравнения.

В задании 3 применяется более общий прием решения неоднородного линейного дифференциального уравнения – метод Лагранжа или метод вариации произвольных постоянных.

Если известна фундаментальная система решений у₁, у₂ однородного уравнения y''+py'+qy=0, то общее уравнение соответствующего неоднородного уравнения y''+py'+qy=f(x) может быть найдено по формуле

у=С₁(х)у₁+С₂(х)у₂,

где С₁(х) и С₂(х) – функции, удовлетворяющие системе уравнений

Отсюда