Тема 5. Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия. Интегрирование нормальных систем. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

[2], гл.I, §6.

Матричный метод. Нормальная линейная однородная система 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(*)

или, в матричной форме,

где

Из характеристического уравнения

det(A-λ E)=0

находятся различные действительные корни λ ₁, λ ₂ (в задании 4 контрольной работы №2 рассматривается только этот случай) – собственные значения матрицы А. Для каждого λ определяется соответствующее ему частное решение

где Y^{(λ )} – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ (т.е. АY^{(λ )}= λ Y^{(λ )}, Y^{(λ )}≠ 0). Общее решение системы (*) имеет вид

или

Пример. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

имеет действительные и различные корни λ ₁=-1, λ ₂=5.

Собственные векторы, например, таковы

Поэтому

,

отсюда общее решение имеет вид

или