Краткий анализ стохастичности

Как уже замечено во Введении, если подбросить монету один раз, то нельзя предсказать, какой стороной она упадет, но если сделать это 500 раз, то известно, что она упадет гербом приблизительно 250 раз, так как вероятность падения любой стороной равна 1/2. И хотя математик может тщательно разъяснить, что тут значит слово " приблизительно", он мало поможет в понимании равновероятности и совсем ничего не скажет насчет самого важного вопроса: как из непредсказуемых результатов складывается предсказуемый? Другими словами: почему из совокупности неустойчивых процессов (полетов монеты) складывается устойчивый (частота)? И всегда ли частота оказывается устойчивой?

" Все же здесь есть что-то парадоксальное. Мы можем предвидеть, что произойдет в конечном итоге, но не можем предвидеть деталей" – писал венгеро-американский математик и педагог Дьердь Пойа[1957, c. 307]. Аналогичную ситуацию в квантовой физике (" законы квантовой физики можно понять,... если применить законы теории вероятностей к большому числу частиц, однако эти законы не объясняют поведения электрона или протона") венгерский математик Габор Секейтоже назвал парадоксом [Секей, 1990, c. 209]. Но что делать с парадоксами, не сказано.

Хотя все учебники ТВ во введениях напоминают, что симметричная монета или кость падает на каждую сторону с равной частотой, но из новых учебников мне попался лишь один [Чистяков, 1996], где приводятся на этот счет хоть какие-то доводы. Их тут нашлось два. Один – логический (монета симметрична и потому не может падать одной стороной чаще, чем другой), другой – экспериментальный (" Экспериментально установлено, что с ростом числа опытов N, проводимых в одинаковых условиях, частота появления некоторого события А... становится почти постоянной"). На этом " обоснование" феномена вероятности и закончено, поскольку автор счел доводы достаточно обоснованными.

Однако легко увидеть их полную непригодность. В самом деле, симметрия монеты достаточна (при некоторых допущениях) для появления частоты 1/2, но вовсе не является для этого необходимой: если слегка изогнуть монету гербом внутрь, то она станет падать гербом вверх чаще, но можно еще усилить асимметрию и этим вернуть частоту 1/2 – для этого достаточно напаять грузик на герб.

Неверен, вообще говоря, и " экспериментальный" довод. Например, математик В.Н. Тутубалин[1993], касаясь процедуры первичного анализа опытных данных физики, признал, что " в большинстве случаев эта процедура закончится печально: статистическая устойчивость будет отвергнута". Круг таких явлений в самом деле очень широк – из явлений практики к нему, например, относятся мутации, а также всё то, чем занята " технетика" [Кудрин, 1991, 1995]. А из явлений модельных, постоянно привлекаемых для иллюстрации законов ТВ, укажу как раз на серию бросаний монеты: стоит немного изменить способ подсчета, и ответом будет – частота неустойчива.

Как уже сказано в начале Введения, если записывать не отношение числа гербов к числу бросаний, а долю опытов, в которых число гербов преобладает, то, несмотря на полную симметрию ситуации (доля равна половине), фиксируемая случайная величина — итог случайного процесса и оказывается неустойчивой [Феллер, 1964, c. 99–101]. Мы к этому не раз еще обратимся, пока же замечу, что обоснования у В.П. Чистяковане получилось. Его учебник издан для будущих инженеров, но о трудностях не сказано ни слова, и инженеры (как и прочие прикладники) потом всюду пытаются использовать непригодные формулы – с огромными потерями для практики и престижа науки.

Странно отсутствие желания объяснять сам факт наличия устойчивой частоты (гнутая монета падает гербом реже, но тоже с устойчивой частотой). Еще более странно для математика объяснение конкретного значения предела (1/2) без речи о существовании предела (хотя литература об этом, как мы видели в гл. 2, существует и наличие предела там отрицается). Судя по всему, этот «предел» автор и называет вероятностью, по сути следуя тому же Мизесу.

Кроме объяснений устойчивости частот, упомянутых у В.П. Чистякова, есть третье, очень старое, восходящее как минимум к философу Томасу Гоббсу: равная частота исходов следует из беспорядочности полета монеты, а сама беспорядочность исходов следует из того, что полет монеты необозримо сложен. Есть и четвертое, более новое, оно апеллирует к ТВ: ЗБЧ говорит, при каких условиях частота сходится к вероятности; для симметричной монеты они выполнены.

Оба эти объяснения тоже неудачны. Ссылка на беспорядочность может быть и проясняет факт равновероятности, если понимать ее как симметрию, но этим путем не объясняется устойчивость частоты (стохастичность по Колмогорову). Пусть монета явно и грубо изогнута – для игры она непригодна, поскольку на одну сторону падает заметно чаще, но феномен устойчивости частот виден на ней тоже. Ссылка же на сложность полета (невозможность его расчета) лишь поясняет наше незнание, но нового знания не привносит. Главный вопрос – почему из массы непредсказуемых событий складывается предсказуемое (устойчивая частота), остается без ответа.

Что касается ЗБЧ, то он сам основан на идее устойчивости частот, на что многие указывали. Ограничусь цитатой из классика: " Все применения теории вероятностей" основаны на " эмпирическом законе", гласящем, что " в многочисленной серии испытаний благоприятное событие осуществляется с частотой, близкой по величине к вероятности... Это утверждение представляет собой постулат... Подтверждение, идущее со стороны теоремы Бернулли, не является доказательством. Теорема Бернуллиисходит из существования вероятности..." [Борельи др., 1972, с. 59].

О " теореме Бернулли" (точнее, здесь имеется в виду теорема Бернулли– Пуассона, т.е. принятый ныне вариант ЗБЧ) мы говорили в главе 3 и видели, что она действительно исходит из существования вероятности; а сейчас отмечу, что математик вправе обращаться к данным опыта только за исходными положениями своих рассуждений (аксиомами), но не за промежуточными аргументами, что как раз и происходит, когда ссылаются на опыт как на обоснование факта устойчивости частот. Поскольку устойчивость частот в набор аксиом никакой теории не входит, но в то же время является математически конструируемым фактом, она должна быть доказана. Какой отраслью математики? На этот вопрос призвана ответить алеатика. Мы обсудим его в главе 6, а пока вернемся к монете.

В начале Введения мы видели: если полет монеты слишком короток, то один игрок может подозревать другого в нечестной игре. Этот факт иногда отмечают (" вероятностный контекст становится подозрителен" [Doob, 1994, c. 158]) или даже предлагают говорить не о случайности и вероятности, а о неопределенности [Алимов, 1980, с. 16; Алимов, Кравцов, 1992, c. 162], но вопрос этим не проясняется.

Если же монета подброшена вверх так, что она, падая, перевернется много раз, то окажется, что неопределенность не выросла, а упала: теперь каждый игрок точно знает, что противник знает не больше, чем он. Замечательно здесь то, что именно теперь мы оба можем согласиться – монета выпадет гербом с вероятностью 1/2. Здесь уменьшение неопределенности рождает вероятность. Это легко понять, анализируя «рулетку Пуанкаре».