От рулетки Пуанкарек странным аттракторам

Обиходный взгляд на случайность исхода бросания монеты (" необозримо сложный полет") выступает как итог ущербной философской позиции (именуемой абсолютным детерминизмом), а вовсе не слабости фактических знаний. Со времен Ньютонаи до работы Лоренцапочти 300 лет ученые закрывали глаза на самодовлеющий характер феномена неустойчивости движения, полагая, что практический интерес представляют только устойчивые процессы. Оказалось не так.

Высказано убеждение [Растригин, 1969, с. 18], что источник неопределенности имеет в рулетке квантовую природу (трение определяется хаотическим движением атомов). Возможно, но он должен каким-то механизмом усиливаться, и этим механизмом служит принципиальная неустойчивость акта остановки рулетки.

Рулетка Пуанкареоказалась простейшим примером динамического хаоса. Теория динамического хаоса (появилась в 1960-х гг.) показала, что случайное поведение является вполне обычным для широкого класса детерминированных систем. В настоящее время становится ясно, что в мире динамических систем господствуют два противоположных принципа – сжатых отображений и растянутых отображений. Первый лежит в основе обычной теории динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями, имеющими (кроме отдельных особых точек) единственные решения. Если правые части уравнений непрерывны, то, в силу принципа сжатых отображений, единственный тип неустойчивости траекторий – расхождение от особых точек к асимптотам (замкнутые асимптоты именуются предельными циклами) или на бесконечность. Если не рассматривать особые точки, то случайности тут места нет (" лапласов детерминизм").

В.П. Гачок[1989] рассматривает всякую (в том числе и не описываемую дифференциальными уравнениями) самоорганизацию как сжатие отображений. Г.М. Заславский[1984] связывает появление динамического хаоса с противоположной ситуацией – когда в динамической системе выполняется принцип растянутых отображений; он имеет место в пространствах отрицательной кривизны; таковы, например, " рассеивающие биллиарды" – т.е. системы с упругими столкновениями шаров, когда производные непрестанно терпят разрыв, а углы расхождения со временем увеличиваются. В области действия этого принципа царит перемешивание, а оно порождает простейшую случайность – стохастичность. Другими словами, здесь возникают случайные события, повторяющиеся с регулярной частотой, т.е. частотой, сходящейся (или почти сходящиеся — см. п. 2-7) к определенному пределу, именуемому вероятностью. Иногда удается сформулировать и критерий стохастичности – условие, при котором в динамической системе возникает перемешивание.

Сравнивая идеологию этих двух книг, приходишь к мысли, что стохастичность динамических систем возникает там, где с течением времени происходит расширение фазового объема системы, а самоорганизация, наоборот – там, где происходит его сжатие. (Для сравнения: обычная статистическая физика исходит из идеи сохранения фазового объема.) В больших системах возможно расширение по одним фазовым областям или подпространствам и сжатие по другим, поэтому траектория реального процесса может переходить из области сжатия в область растяжения и обратно, что воспринимается как фазовые переходы. Поэтому, наблюдая за маргинальным участком (свойством, срезом) такой системы, естественно ожидать встретить наиболее сложно устроеннную случайность. Мы вернемся к этой теме в главе 6.

Рулетка моделирует отдельное бросание, но как связать отдельные бросания в цепь независимых испытаний так, чтобы вся цепь порождалась одной моделью, доступной аналитическому изучению? Такую модель являет собою странный аттрактор. Его впервые обнаружил в машинном эксперименте в 1963 г. американский математик-метеоролог Эдвард Лоренц, исследуя задачу о завихрении воздушного потока. Оказалось, что система из трех довольно простых дифференциальных уравнений (рис. 5) обладает поведением, похожим на неограниченную серию бросаний монеты. Полагая скорости равными нулю, найдем условия покоя системы: начало координат (x=y=z=0) и две симметричные точки x=y= ±6 , z=27. Все три точки покоя неустойчивы, но вокруг каждой из последних двух расположен аттрактор (область, притягивающая к себе траектории).

Аттракторы были известны и ранее, но эта пара воистину странная, отчего ее (всю пару) и назвали странным аттрактором: попав в одну область притяжения, траектория может сделать вокруг точки покоя непредсказуемое число оборотов, а затем уйти в другую область, где поведет себя аналогично (столь же нерегулярно).

На рис. 5 [Странные..., 1981, c. 73] изображены первые сто витков после выхода траектории из начала координат (a – первые 54 оборота, b – следующие 46). Обороты вокруг левого аттрактора происходят по часовой стрелки, вокруг правого – против. Эту картинку иногда называют " бабочкой Лоренца", и это удачно, но надо иметь в виду, что " крылья" этой " бабочки" неплоские и сгруппированы вокруг разных плоскостей.

Для понимания мировоззренческого аспекта феномена странных аттракторов важно следующее обстоятельство: " Хотя решения полностью определяются своими начальными данными, они с течением времени меняются чрезвычайно нерегулярным образом. Более того, малые отклонения начальных условий вызывают большие отклонения в поведении решений" [Странные..., 1981, c. 193]. То есть перед нами две случайности –первая проявляется вдоль одной траектории, четко воспроизводима и эквивалентна как одной раскладке в схеме Бернулли, так и случайности по Ламбертудля одного числа; другая состоит в резком различии между траекториями, берущими начало из близких точек, плохо воспроизводима и аналогична серии(*) бросаний монеты (или серии опытов с рулеткой Пуанкаре). И если вторую случайность еще можно (хотя, на мой взгляд, не нужно) подавать как следствие незнания (сложности), то первая прямо проистекает из знания: стохастическая последовательность порождена самой системой уравнений. Это оказалось неожиданно.

Последнее для нас важнее всего: здесь факт непредсказуемости не имеет отношения ни к точности задания начальных данных, ни к возмущениям в ходе движения, а заключен в самой системе уравнений. Это – новая для науки ситуация, она придает феномену случайности новый статус, статус объективной реальности.

Б.В. Чириков, один из творцов теории динамического хаоса, резонно изумился: " Источник чрезвычайной сложности, характерный для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана! Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и уж тем более не в числе ее степеней свободы)..." [Лихтенберг, Либерман, 1984, c. 3]. Добавлю: и даже не в случайном процессе. Источник вполне виден в единичном случайном акте – остановке стрелки рулетки. (Напомню, сам феномен остановки вращения как источник случайности отметил еще римский пифагореец Нигидий Фигул– см. гл. 1.)