Неустойчивость частот как нарушение тройной симметрии

Если тройная симметрия гарантирует выполнение ЦПТ, а та гарантирует выполнение ЗБЧ (приближение частоты к вероятности), то и отсутствие вероятности, понимаемой как устойчивая частота, естественно искать в тех явлениях, где тройная симметрия нарушена. В ТВ уделяется много внимания независимости событий (т.е. равновозможности серий событий), но не анализируется равновозможность самих событий (исходов), а она-то как раз часто нарушается.

Как уже говорилось в главе 2, в 1662 г. Граунтначал обсуждение феномена устойчивости частот. Этим открытием сразу же воспользовались многие отрасли знания, однако математическое осмысление этого феномена началось всерьез лишь через двести лет, когда немецкий статистик Вильгельм Лексисв 1879 году сформулировал само понятие устойчивости частоты. Он связал его с величиной дисперсии случайной величины: чем выше относительная дисперсия, тем ниже устойчивость. В качестве распределения со стандартной устойчивостью было взято нормальное (гауссово) распределение [О теории..., 1968].

Но вопрос о том, возможна ли частота, совсем неустойчивая, еще не был тогда поставлен – предметом интереса были лишь конечные выборки, а потому считалось, что бесконечные дисперсии интереса не представляют. Данная позиция очень слаба – всем известно, что достаточно большие числа часто оказывается не только удобнее, но и содержательнее рассматривать как бесконечные. В наше время в рамках ТВ изучено много распределений с бесконечными дисперсиями, и пора понять их место.

Например: для распределения Кошине имеет места ЗБЧ, точнее, " с помощью осреднения вообще нельзя добиться повышения точности" [Варден, 1960, c. 107]; при нем " средние не накапливаются вокруг нуля, как можно было бы предположить по аналогии с законом больших чисел" [Феллер, 1984, c. 67]. Однако нам надо понять большее – можно ли здесь вообще говорить о вероятности или мы должны оставить ТВ и вступить в какой-то новый раздел алеатики?

Назовем последовательность случайных величин неустойчивой по Лексису, если в ней относительные дисперсии не стремятся к конечному пределу. Такие величины будут рассмотрены в части 2, а здесь ограничимся одним примером, иллюстрирующим нарушение тройной симметрии и, как следствие, приводящим к неустойчивой частоте.

4-7.1. Пример неустойчивой частоты: ветвящийся процесс

Кость, сколько ее ни бросай, всегда упадет на одну из своих граней, так что равновозможность исходов (при надлежащем введении элементарного события, или, что почти то же, числа граней t – см. гл. 3) гарантирована. Однако хорошо известны процессы, в которых надо как бы бросать новую кость на каждом шагу процесса, причем число t неограниченно растет. Таковы, например, ветвящиеся процессы. Все дальнейшие математические сведения о них можно найти в главе 1 книги [Харрис, 1966], если не указан иной источник.

Простейшим ветвящимся процессом является процесс рождения и гибели. Пусть на чашку с питательной средой помещена одна-единственная бактерия и пусть за час она либо погибнет, либо поделится на две точно такие же. Клон (бесполое потомство единственной особи) бактерий может расти или уменьшаться, но множество возможных значений численности всегда растет экспоненциально: через Т часов на чашке может оказаться от нуля до 2^T бактерий. Новое случайное событие (число бактерий в момент Т+1) можно представить как исход бросания 2^T-гранной кости. В этих условиях ЗБЧ формально выполняется для каждого поколения, но с каждым поколением – всё хуже и хуже, так что фактически им пользоваться нельзя.

В таких условиях средняя численность клона не несет привычного нам смысла, поскольку реальная численность почти всегда очень далека от него: в большинстве опытов она быстро окажется равной нулю, зато в немногих опытах она будет гораздо выше средней. Суммирование по нереально огромному числу чашек приведет к вычисленной средней величине, но она тем самым неинформативна.

Формально нестохастичность растущего клона выражается в том, что с ростом Т дисперсия численности растет быстрее, чем сама численность, т.е. относительная дисперсия стремится не к нулю, а к бесконечности. Следовательно, здесь сразу видно, что численность растущего клона является в каждом поколении величиной, неустойчивой по Лексису. Однако пределы возможного изменения случайной величины (численности в данном поколении) одинаковы для растущего и для вымирающего клонов (2^T особей). Это наводит на мысль, что в каком-то смысле неустойчив и вымирающий клон (хотя у него и численность, и ее дисперсия стремятся к нулю), и оказывается верно – см. п. 9-7.1. Но если полные средние и дисперсии неинформативны, то нужно исследовать иные величины.

Вычисление предельных значений либо невозможно, либо неинтересно, однако вполне возможен и интересен анализ текущих условных численностей, т.е. численностей, найденных в предположении, что факт неутраты данного клона до данного поколения известен. Этот анализ, как мы увидим в п. 7-5, приводит к неожиданным для обычной статистики результатам и, в частности, заставляет полностью пересмотреть выводы статистической теории эволюции (п. 9-7).