Вероятность реальных событий и конструктивность

Нам надо закончить сопоставление различных вероятностных явлений, чтобы связать три обоснования феномена вероятности и тем хоть приблизительно обозначить границы вероятностного мира внутри мира алеатики. Как отметил методолог В.А. Марков, " теория вероятностей построена на некоторых неэксплицированных принципах симметро-инвариантности (однородность случайных событий; инвариантность вероятностных характеристик стационарных случайных функций относительно сдвигов во времени и т.п.)" [Бирюков и др., 1982, с. 12]. В справедливости данной мысли мы не раз убеждались, а значит, выявление указанных границ требует уточнения этой " симметро-инвариантности".

Мы видели в п. 4, что устойчивость частот зиждется на симметрии поля вещественных чисел, но следует ли из симметрии всего этого поля симметрия тех его подмножеств, с которыми мы фактически имеем дело? Ведь обычно мы имеем дело с рациональными числами, а они составляют нулевую часть ото всех вещественных. И наоборот – всегда ли мы пользуемся в качестве вероятностей числами из вещественного поля? (В п. 2-9 говорилось о гипервещественных вероятностях.)

Откладывая обсуждение этого вопроса в целом до главы 6, где будет речь о мощностях множеств, замечу здесь одно: множество конструктивных чисел (конструктивным называется число, для вычисления которого в принципе существует алгоритм, быть может нам неизвестный), тоже счетно (поскольку число различных алгоритмов конечной длины N конечно, а потому число всех алгоритмов – т.е. при счетном N – счетно) и тоже симметрично по Борелю. Точнее, для них известна теорема Мартин-Лёфа(1965 г.): свойство статистической независимости знаков (случайность по Ламберту) справедливо для почти всех конструктивных чисел.

Как точную формулировку самой теоремы, так и смысл слов " почти все" для множества конструктивных чисел см. [Успенский, Семенов, 1987, с. 183, 210]. Для тех, кто хочет узнать о случайности знаков действительных чисел больше, рекомендую эту книгу – там регулярность случайности (стохастичность) изложена как обоснование ТВ. Другое обоснование дает, как мы видели в п. 3, теория динамического хаоса. Там стохастичность тоже, в конечном счете, исходит из результата Бореля, который изложен в п. 5 как третье обоснование вероятности. Итак, все три обоснования основаны на симметрии поля вещественных чисел – вот главный итог данной главы.

Тем самым, монета, а также игральная кость, независимо от правильности их внешних форм, падает на каждую свою сторону с устойчивой частотой потому, что наш мир симметричен – столь же симметричен, как мир вещественных чисел. Или, кому так нагляднее: потому, что метрика нашего мира описывается вещественными числами, симметричными по Борелю. И в том, что оба вопроса (об игральной кости и о знаках числа) надо решать вместе, Ламбертоказался прав.

Недостаток обоснования ТВ, даваемого теорией алгоритмов, состоит в том, что оно касается исключительно вопросов бросания монеты, и неясно даже, какие из его положений верны для t-гранной кости, не говоря уж о более сложных случайностях. (Мелькающее иногда в литературе заявление, что любой случайный процесс можно представить достаточно длинной серией бросаний идеальной монеты, практической ценности не представляет.) Словом, алгоритмическое обоснование узко.

Однако оно имеет глубокий смысл – оно аналогично обоснованию второго принципа термодинамики, выводимому из уравнений движения лишь для одноатомного идеального газа. Оно имеет большое познавательное значение, поскольку позволяет проникнуть в феномен случайности глубже, чем способна обычная ТВ.

А именно, если в обычной ТВ феномен случайности учтен только понятием независимости (см. п. 3-3.1), то в алгоритмической ТВ он исследуется по существу: псевдослучайный ряд чисел тем более случаен, чем меньше " дефект случайности", т.е. разность между длиной ряда и длиной выражающего этот ряд правила [Шень, 1992, c. 128]. Тем самым, если в обычной ТВ единственная возможность как-то описать ограничение случайности событий – это ввести условные вероятности, выражающие зависимость между случайными величинами (мы не касаемся здесь случайных про-цессов), то алгоритмическая ТВ дает более тонкий инструмент: случайность можно вводить по-разному и выяснять, какие теоремы ТВ для каких случайностей верны. (Условная вероятность выступает при этом всего лишь как частный прием ограничения случайности испытаний [Шень, 1992, c. 130].) Например, доказано, что ЗБЧ справедлив для более широкого круга псевдослучайностей, нежели закон повторного логарифма, требующий меньшего дефекта случайности [Вовк, 1987; Шень, 1992, с. 128].

Уже сейчас можно и, по-моему, нужно начинать учебник ТВ с того утверждения, что среди массовых случайных явлений существует класс вероятностных. Учебников таких мне не попадалось, но в популярной книге [Ruelle, 1991] сделано именно так. См. Добавление 3.

Вполне верные фразы типа " Понятия теории вероятностей применимы не ко всем экспериментам с неопределенным исходом" [Тутубалин, 1992, c. 10] пропадают без пользы, пока не пояснены примерами применимости (рулетка Пуанкаре, строение вещественного числа) и хотя бы одним примером неприменимости, т.е. нестохастичности (один мы видели выше, в п. 7, другие увидим далее, в части 2). Пояснение может быть более или менее подробным и строгим – в зависимости от круга предполагаемых читателей учебника.

Нам же пора приступить к эскизу алеатики как целого, а для этого надо сперва обрисовать место алеатики в различных картинах мира.