Тройная симметрия

Симметрийный подход многое разъясняет и в отношении предельных теорем. Центральная предельнаятеорема (ЦПТ), рассмотренная в главе 3, гласит, что сумма независимых случайных величин (одинаковых или различных) в широких условиях сходится к одному-единственному распределению (гауссову). Точную формулировку см. например [Феллер, 1984, с. 301], нам же достаточно следующего: суммирование случайностей приводит к гауссову распределению, если выполнены три условия:

1) равновозможность (самих событий и их серий);

2) аддитивность (результирующая случайность есть сумма);

3) одномасштабность (дисперсии слагаемых равномерно ограниченны).

Вся тройка в целом достаточна для выполнения ЦПТ. Этой тройке условий ранее [Чайковский, 1988; 1990] было дано название тройная симметрия. Тройка достаточно разнородна – равновозможности событий можно придать точный симметрийный смысл, введя понятия микро- и макросостояний; равновозможности серий (независимости событий) можно придать точный смысл, введя новую форму симметрии – реализационную; аддитивности тоже можно придать точный смысл, но она существенна не сама по себе, а как единственный обследованный в ТВ пример действия, обладающего симметрией в форме коммутативности и ассоциативности – сложение им обладает:

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c);

что же касается одномасштабности, то она является симметрией лишь в некотором фигуральном смысле.

Столь же различна и их роль в отношении необходимости – одномасштабность для выполнения ЦПТ, грубо говоря, необходима (точнее см. ниже), тогда как аддитивность – не более чем один обследованный пример. Что касается равновозможности событий, то она (точнее, равновозможность микросостояний), по-видимому, необходима; наоборот, независимость (равновозможность серий) может нарушаться, но – в определенных пределах, о которых еще будет речь.

Предоставляя математикам принять (уточнив смысл) или отвергнуть высказанные положения, ограничусь несколькими соображениями, которые призваны прояснить суть тройной симметрии и облегчить переход к случайностям, ее не имеющим.

1. Рассмотренные в главе 3 примеры действия ЦПТ показывают, насколько важна обычная наглядная симметрия: равномерная плотность симметрична, и ЦПТ весьма эффективна – сумму уже трех слагаемых можно заменить нормальной плотностью; наоборот, плотность хи-квадрат радикально асимметрична, и сходимость чисто номинальна. В промежуточных случаях, когда асимметрия не столь радикальна (диссимметрия) эффективность ЦПТ тоже промежуточна: таковы пуассоново, логнормальное и другие скошенные и смещенные колоколообразные плотности.

2. Читая учебник Уиттла, довольно легко понять, что тройная симметрия перемалывает любую совокупность случайностей, ею обладающую, в одну – гауссову, самую симметричную. Можно пойти и дальше: признать, что всякая устойчивость частот есть разновидность симметрии [Марков В.А., 1988, c. 50].

3. Просчет Мизесасостоял в отказе от симметрийного подхода. Постулировав беспорядочность, он отверг симметрию, ибо полагал эти идеи противоположными. По-моему же, они взаимодополнительны (в том смысле, какой придавал этому термину Нильс Бор– см. п. 5-7): симметрийное понимание вероятности (как инварианта структуры равновозможностей) взаимодополнительно к пониманию вероятности как предела частоты. Подробнее см. конец главы 5.

4. И само нормальное распределение, и его двухсотлетний успех выглядят загадочно. Как признал сто лет назад Пуанкаре[1999, c. 140], нормальное распределение не имеет строгого вывода, а сделанные самим Гауссомпри его выводе допущения не только грубы, но и прямо нарушаются. Тем не менее " все верят в этот закон. Как мне однажды сказал П. Липпманн, потому что экспериментаторы думают, что это математическое утверждение, а математики – что это результат эксперимента". Яркость афоризма за сто лет не потускнела, но загадочность закона несколько поубавилась – чем менее симметрична ситуация, тем хуже он действует. Слова " менее симметричная ситуация" означают уменьшение роли составляющих тройной симметрии в исследуемом случайном явлении. Поясню этот тезис примерами.

5. Самые легкие примеры касаются условия равномерной ограниченности дисперсии случайных слагаемых, поскольку оно, грубо говоря, необходимо (точнее см. [Феллер, 1984, c. 299, 301; Стоянов, 1999, c. 180], где показано, что " условие Линдеберга", ограничивающее дисперсию случайной величины и обычно называемое необходимым и достаточным, не всегда является необходимым). Даже у распределения с плотностью f(x), для которого сама ЦПТ грубым образом не выполняется, может иметься какая-то характеристика g(x), сходящаяся к нормальному распределению, если и f, и g симметричны. Таково распределение Коши

F(x) = 1/2 + (1/p) arctg x,

имеющее плотность: F'(x) = f(x) = ,

у которого ЦПТ выполнена для медианы, т.е. для х, задаваемого уравнением F(x)=1/2. Очевидно, что у распределения с симметричной плотностью медиана совпадает со средним значением плотности, а это и есть та величина, которую обычно хотят найти.

Плотность Кошиимеет, как и гауссоида, колоколообразную форму, однако убывает с ростом х так медленно, что бесконечны не только дисперсия, но и мат. ожидание. Распределение Коши естественным образом возникает в астрономических расчетах, поскольку ему подчиняется случайная величина x=tg h, где угол h распределен равномерно между -p/2 и +p/2. Тем самым, на границах области определения величины h переменная х неограниченна. Ввиду бесконечности мат. ожидания тут среднее от любого числа измерений величины х оказывается не точнее, чем единичное измерение. Это значит, что грубо нарушен даже ЗБЧ, не говоря уж о ЦПТ. Вроде бы статистика бессильна, но спасает симметрия распределения: зная, что случайная величина Х распределена по Коши, нужно не суммировать сами х, а вычислять F(x) для каждого х по формуле, определяющей функцию распределения:

F(x) = P(y< x),

где y – измеряемые величины (в данном случае тангенсы), а затем решить уравнение F(x) = 1/2 и тем самым вычислить выборочную медиану для данного х. Нормированная сумма выборочных медиан для различных случайных значений х, распределенных по Коши, сходится к нормальному распределению [Варден, 1960, c. 107].

6. В качестве примера нарушения условия аддитивности в главе 3 приведено распределение хи-квадрат: если складывать не сами случайные величины, а их квадраты, то ЦПТ хоть и плохо, но выполняется (рис. 3). Другой пример: случайные величины, распределенные нормально, можно перемножать, т.е. складывать их логарифмы – получится логнормальное распределение, для которого ЦПТ тоже справедлива. Это – единственный известный мне пример, когда тройная симметрия достигается за счет не сложения, а другого симметричного действия над случайными величинами (умножения – оно тоже обладает коммутативностью и ассоциативностью).

7. Наоборот, ЦПТ может нарушаться даже для очень " хороших" распределений, если только равномерная ограниченность слагаемых нарушена достаточно сильно. Самый для меня удивительный пример (из простых) – сумма равномерно распределенных величин, определенных на различных интервалах. Казалось бы, пример на рис. 2 должен быть достаточно устойчив к вариациям, однако стоит достаточно быстро устремить длину n-го интервала к нулю (т.е. случайные величины – к детерминированному пределу), и сходимость суммы n слагаемых к нормальному распределению исчезает [Феллер, 1984, c. 303]. Здесь оказывается слишком велика роль первых слагаемых по сравнению с последующими.

Противоположный случай (когда длины интервалов растут – приведен там же) менее удивителен. Вся его удивительность состотит в том, насколько быстро должна расти длина n-го интервала (как 2^N), чтобы ЦПТ перестала выполняться. Это говорит о большом запасе ее прочности.

Другой пример, когда экспоненциальное расширение области определения случайной величины разрушает саму стохастичность, мы рассмотрим а п. 7-1.