Симметрия по Борелюи случайность по Ламберту

Если обозначить через 0 выпадение герба, а через 1 – цифры, то серию из N бросаний монеты можно представить как действительное число (для определенности – число единичного отрезка), записанное в двоичной системе и вычисленное до N-го двоичного знака. Например, серия герб-цифра-герб, т.е. 101, запишется числом 0, 101, т.е. обыкновенной дробью 5/8. Различных серий (раскладок) будет ровно столько, сколько существует различных чисел длины N, т.e. 2ⁿ. Анализ ЗБЧ переходит в анализ структуры действительных чисел, и мы подходим к описанной во Введении задаче, поставленной Ламбертом: почему знаки иррационального числа случайны?

Первого результата здесь добился Борель, один из создателей современной ТВ, в классической работе " Счетные вероятности и их арифметические приложения" [Borel, 1909](*). Вместо размышлений о случайности знаков конкретного числа (у Ламбертаэто был ), Борель задумался о свойствах действительных чисел вообще.

Наличие какой-либо зависимости между последовательными знаками – ничтожно редкое исключение. Борельпопулярно разъяснил данное обстоятельство (на примере периодичности знаков в числах, записанных в десятичной системе счисления): " Если... мы пишем последовательно все десятичные знаки вправо от запятой, то для того, чтобы десятичная дробь была периодической, нужно, чтобы... произошло бесконечное множество благоприятных случаев; в силу принципа сложных вероятностей нужно получить произведение бесконечного множества дробей, меньших единицы, так что получается результат сколь угодно малый, т.е. нуль" [Борель, 1923, с. 138].

Важнейшим достижением Бореляв статье 1909 г. было то, что он не просто устремил N к бесконечности, т.е. исследовал потенциальную бесконечность, но и рассмотрел свойства бесконечных дробей (прежде всего двоичных), т.е. ввел в ТВ актуальную бесконечность (она была тогда уже изучена в теории множеств). Например, актуально бесконечно в двоичной системе счисления число 1/3 – в этой системе оно равно 0, 0101010... (всякое число 0< x< 1, не являющееся суммой отрицательных степеней двойки, выражается в двоичной системе бесконечной двоичной дробью; если x рационально, то двоичная последовательность периодична, а если иррационально, то непериодична, т.е., в наших терминах, случайна по Ламберту.) При этом всякая особенность имеет нулевую долю или, точнее, нулевую меру по Лебегу – этот термин означает, что множество таких чисел на отрезке [0, 1] имеет нулевую суммарную длину. В частности, нулевую меру имеет множество рациональных чисел.