Рулетка Пуанкареи вероятность как мера

Пусть на вертикальной оси крутится горизонтальная стрелка, под нею половина плоскости белая, а половина черная. Слабо толкнув стрелку, легко подгадать, чтобы она остановилась над белым, но если она сделает хотя бы 10 оборотов, подгадать трудно. Если же и секторов сделать не два, а 37, как в настоящей рулетке, то подгадать практически невозможно. Говоря более строго: для любой точности измерений существует число оборотов, после которого угадать цвет остановки невозможно. То есть факт невозможности справедлив на том самом языке " эпсилон – дельта", который принят за эталон строгости в математическом анализе.

Сопоставив белое с гербом, а черное – с цифрой, получим прекрасную модель бросания монеты. В модели нет сложного полета, а главный результат налицо: чем больше начальная скорость, тем меньше она влияет на итог, на цвет остановки. Хотя точка остановки остается функцией начальной скорости и близким начальным скоростям по-прежнему соответствуют близкие точки остановки, но они всё чаще оказываются принадлежащими разным цветам.

Следовательно, необозримая сложность полета монеты не рождает случайность, а лишь маскирует ее подлинный источник – неустойчивость процедуры отображения бесконечного множества начальных состояний в конечное (в случае монеты в нем всего два элемента) множество итоговых. Эта неустойчивость должна быть исследована, а не принята как данная опытом поколений.

Еще Хинчин[1995, c. 548] отметил, что рулетка демонстрирует обобщение идеи равновозможности на непрерывные множества. Поэтому на ней легко ввести понятие меры. В самом деле, в рулетке Пуанкаревероятность выступила как мера – стрелка остановится над белым настолько чаще, насколько больше доля белых секторов (или, что то же, белых дуг), чем черных. Рассмотрим это подробнее.

Вращение стрелки можно, не ограничивая общности рассуждения, всегда начинать с одного и того же нулевого угла. Тогда угол a на котором она остановится, будет функцией начальной скорости v: a = a (v). Если v достаточно велика, то доля времени, проведенная стрелкой в белом секторе, а следовательно и вероятность остановиться в нем, близка к той доле, какую составляет белая дуга от всей окружности. Наоборот, зависимость угла остановки a как от v, так и от закона, по которому совершается замедление, сказывается всё меньше и быстро сходит на нет.

Иначе говоря, какова бы ни была монотонная непрерывная функция a (v), искомая вероятность остановки стрелки в белом секторе задается не ею, а соотношением длин дуг разных цветов. В этом смысле функция a (v) произвольна. Факт произвольности a позволяет заняться исключительно соотношением длин дуг, что мы и сделаем. Число белых дуг, их взаимное расположение и длина каждой могут быть любыми, но если их мера (суммарная длина) не меняется, не изменится и вероятность остановки стрелки на белом. Поэтому естественно назвать вероятностью остановки стрелки на белом именно меру (суммарную длину) белых дуг. В этих терминах феномен существования постоянной вероятности вполне очевиден. Существенно, что белая часть круга может быть сколь угодно " рваной" – это не мешает вероятности оставаться постоянной (здесь, в отличие от п. 2-7, имеет место точный предел — при бесконечном v).

В данных терминах легко переосмыслить рассмотренную ранее схему Бернулли. Пусть круг расчерчен на t равных секторов, раскрашенных в w различных цветов (w < t) в произвольном порядке. Пусть r секторов – белые (r < w). Если w = 2, мы моделируем бросание монеты (при t = 2r монета симметрична), если w = 6, то – выпадение заданной грани игральной кости, если w = 52, то – появление заданной карты из колоды карт и т.д. На рис. 4 изображен круг при w = 2, r = 10, t = 18, т.е. моделируется монета, падающая гербом с вероятностью 5/9. По оси абсцисс отложены значения начальных скоростей стрелки, график изображает функцию a (v), а по оси ординат, где отложены углы остановки стрелки, будто бы катится круг рулетки. На рисунке максимальному значению v = b соответствует чуть более одного оборота стрелки.

Пусть в нашем опыте a< v< b. Спроецируем все возможные углы остановки на единичный интервал, на котором совокупная длина белых отрезков есть вероятность p выпадения герба. Чем больше будет b, тем теснее будут лепиться белые и черные отрезки, но вероятность p меняться не будет.

Пока эти длины конечны, всё просто. Когда же длина каждого отрезка стремится к нулю, то в пределе придется, чтобы ввести вероятность, говорить о суммарной длине отрезка, составленного из бесконечного числа бесконечно малых отрезков (но, если следовать нестандартному анализу, не из точек). Теория такого суммирования существует – это теория меры, которую предложил в 1904 г. Анри Лебег. В чем она состоит, здесь не имеет значения – нам достаточно того, что вероятность как мера сколь угодно " рваного" множества имеет смысл. В нашем случае эта вероятность – мера совокупности белых дуг.

Удивительно, сколь долго оставался незамеченным факт изоморфизма свойств рулетки и монеты. У самого Пуанкарерулетка рассмотрена с одной целью – показать, что факт равновероятности справедлив при любом законе замедления стрелки, выражаемом произвольной функцией. В книге Борелярулетка Пуанкаре подробно описана, однако акт случайного бросания описан без связи с ней и подан вполне традиционно, по Гоббсу: " Разве можно детально проанализировать движение руки, бросающей кость? " [Борель, 1923, c. 63–66, 5]. Насколько знаю, первым рулетку с монетой сопоставил в 1935 году философ Куки[Kuki, 1966, c. 150].

Но и после этого рулетка Пуанкареосталась вне поля зрения ученых, и в новейшей книге [Шрёдер, 2001, c. 207] читаем: чтобы регулярно выигрывать в рулетку, «неоходимо прежде определить коэффициенты трения для шарика и колеса». Автор этого уверения не стал проверять его практически, а зря: хорошо бы узнать, насколько прав был Пуанкаре, утверждая произвольность функции, т.е. независимость цвета (но не угла) остановки от характера движения, в том числе и от коэфициента трения.