Метод трапеций.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b], заменим её многочленом Лагранжа первой степени с узлами . Это соответствует замене кривой на секущую. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции (рис. 3).

Рис. 3

Из геометрических соображений нетрудно написать для него формулу трапеций

(3)

Это одна из простейших квадратурных формул. Найдем её погрешность. Для этого разложим по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых непрерывных производных:

(4)

Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла. Подставляя в (3) разложение (4), получим главный член погрешности

(5)

где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Заметим, что содержащие и члены разложения (4) уничтожились и не дали вклада в погрешность; это нетрудно было предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени.

Вообще говоря, длина отрезка b-a не мала, поэтому остаточный член (5) может быть велик. Для повышения точности на отрезке [a, b] вводят достаточно густую сетку Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу применяют формулу (3). Получают обобщенную формулу трапеций

(6)

На равномерной сетке она упрощается:

(7)

Поскольку в оценке (5) были отброшены члены, содержащие более высокие степени длины интервала, то выражение остаточного члена (7) является асимптотическим, т.е. выполняющимся при с точностью до членов более высокого порядка малости. Но для справедливости этой оценки необходимо существование непрерывной ; если кусочно-непрерывна, то удается сделать лишь мажорантную оценку

(8)

Таким образом, обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности относительно шага сетки. На равномерной сетке это видно непосредственно, а на квазиравномерной сетке, порожденной преобразованием , остаточный член (6) можно привести к виду

(9)

если используемые в этой формуле производные непрерывны. Для произвольной неравномерной сетке асимптотическая оценка в виде суммы (6) справедлива, но неудобна для использования; можно пользоваться мажорантной оценкой (8), подразумевая под шагом