Процесс Эйткена.

У всех рассмотренных выше обобщенных формул на равномерных и квазиравномерных сетках ошибку можно разложить в ряд по степеням шага. К ним применим метод Рунге. Но для его применения надо знать, каков порядок точности исходной формулы.

Предположим, что порядок точности p существует, но неизвестен. Оказывается и в данном случае можно уточнить результат, если расчеты проведены на трех (или более) сетках.

Чтобы упростить алгоритм расчета, выберем три сетки с постоянным отношением шагов, т.е. с шагами Обозначим приближенное значение интеграла на K -й сетке через и ограничимся главным членом погрешности. Тогда можно записать

(12)

Это система трех уравнений для определения неизвестных F, , p. Вводя вспомогательные обозначения преобразуем эту систему к следующему виду:

(13)

Перемножая крайние уравнения (13) и сравнивая с квадратом среднего уравнения, получим

отсюда легко получить уточненное значение интеграла

(14)

Попарно вычитая уравнения (13) друг из друга, получим

или

Следовательно, эффективный порядок точности исходной формулы (12) равен:

. (15)

Описанный алгоритм был предложен Эйткеном в 1937г. Для ускорения сходимости итерационных процессов последовательного приближения, в которых ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии. Погрешность численного интегрирования при изменении шага в q раз меняется приблизительно в раз. Поэтому если сетки последовательно сгущаются в одно и то же число раз, то ошибка убывает именно по требуемому закону.

Вычисляя уточненное значение следует именно по формуле (14), не преобразовывая её. В данной записи из вычитается поправка, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, поэтому заметной потери точности не происходит. Если же привести все члены в формуле к общему знаменателю, то в вычислениях придется удерживать много знаков, чтобы избежать потери точности при округлениях.