Метод Симпсона.

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени:

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки

Рис. 4

Сумма элементарных площадей и (рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка просуммируем полученные выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(10)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [a, b] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций.

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения n произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид:

(11)

Видно, что формула (11) совпадает с (10), если формулу (10) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h/2.

Как и для формулы трапеций, погрешность формул Симпсона вычисляется подстановкой разложения (4), в котором теперь надо удержать большее число членов и для каждой пары интервалов и за центр разложения взять узел . Главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения. Подставляя его в выражение суммарной погрешности двух соседних интервалов, найдем

После суммирования по парам соседних интервалов получим

т.е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов(если четвертая производная функции не слишком велика).