Вычисление двойного интеграла в декартовой с-ме коор.

Сводится к повторным.

1) чертим область интегрирования исходя из уравнений

2)определяем порядок интегрирования

3)находим верхние (левые) и нижние (правые) точки

4)определяем пределы внешнего интеграла

5)для нахождения пределов внутреннего интеграла проводим прямую II оси, одноименной с внутренней переменной.

4* Замена переменных в двойном интеграле. Переход в ДИ от декарто­вых к полярным координатам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных. , где , непрерывны в некоторой области Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области :

При сформулированных выше условиях для непрерывной на D функции справедливо:

Формула перехода от Декартовой к полярной системе:

5* Приложения двойного интеграла - площадь плоской фигуры, объемы тел, ста­тические моменты и центр тяжести. Момент инерции плоской фигуры

6* Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах

Рассмотрим фигуру, представляющую собой пространственное тело V. Мерой этого тела будет являться его объем, который обозначим также буквой V. В теле V определена функция . Введем понятие тройного интеграла по этому телу. Для этого разобьем тело V произвольным образом на части . В каждом из полученных объемов произвольно выберем точку , вычислим значение функции в этих точках и составим интегральную сумму . Обозначим через и перейдем к пределу в интегральной сумме при . Предел данной интегральной суммы назовем тройным интегралом от функции по телу V:

Для тройного интеграла остаются справедливыми все свойства интеграла по фигуре: линейность, аддитивность, теорема об оценке, теорема о среднем, и т.д.

7* Цилиндрические и сферические координаты. Переход в тройном интеграле от декар­товых к цилиндрическим и сферическим координатам

Положение точки в пространстве можно однозначно задать проекцией точки на плоскость x 0 y и аппликатой z. Проекцию же точки на плоскости x 0 y можно задать как в декартовых, так и в полярных координатах. Если проекцию точки задавать в полярных координатах, то в пространстве полученные координаты точки назовем цилиндрическими.

В цилиндрических координатах:

В сферических координатах:

8*Приложения тройного интеграла — объемы тел, масса тел, центр тяжести

9*Криволинейный интеграл 1-го рода (КрИ-l): определение, свойства, вычисление, при­ложения

Рассмотрим в пространстве кривую АВ. Разобьем ее на точки. Найдем значение функции в каждой точке. Просуммируем. Рассмотрим предел. Если предел существует и конечный, то он называется КрИ1.

Теорема. Если функция непрерывна, а кривая гладкая или кусочногладкая, то для таких функций и кривых существует КрИ1.

1)КрИ1 не зависит от направления интегрирования.

2)Если для по прямой АВ

3)Постоянный множитель выносится за знак интеграла

4)Если АВ разбить точкой С на 2 части, то (АВ=АС+ВС)

1* Если кривая задана уравнениями

2* Если в полярной системе:

3*

10* Криволинейный интеграл 2-го рода (КрИ-ll): определение, свойства, вычисление, приложения

Рассмотрим в пространстве кривую АВ. Разобьем ее на точки. Найдем значение функции в каждой точке. Просуммируем. Рассмотрим предел. Если предел существует и конечный, то он называется КрИ2.

Теорема. Если функция непрерывна, а кривая гладкая или кусочногладкая, то для таких функций и кривых существует КрИ2.

1)Если поменять направление, то КрИ2 изменит знак.

2)Если для по прямой АВ

3)Постоянный множитель выносится за знак интеграла

4)Если АВ разбить точкой С на 2 части, то (АВ=АС+ВС)

1* Кривая задана уравнением y = f(x), x изменяется от до .

2* Кривая задана параметрически: x = x(t), y = y(t), t от до .