Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерносходящихся рядов.

Функциональный ряд – ряд, члены которого являются функциями.

Ряд равномерно сходится, если:

1. Сходится для любых

2. для любых ε > 0 любых N> 0 не зависимо от х, что | |= люб. x> N и люб.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак сходимости):

Пусть члены функционального ряда определены на множестве и при люб. , где - члены сходящегося ряда , тогда данный функциональный ряд является абсолютно и равномерно сходящимся.

Свойства:

Теорема 1:

Если функциональный ряд равномерно сходится на Х, лежащем в R, и члены ряда непрерывны на Х, то сумма этого ряда – непрерывная функция на всём Х.

Теорема 2:

Равномерно сходящийся на [ a, b ] ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать.

Теорема 3:

Пусть для данного функционального ряда:

1) дифференцируема на [a, b] при люб. n

2) неопр. на [a, b]

3) на [a, b]

Тогда данный ряд можно почленно дифференцировать в любой точке х