Сходимость ряда Фурье.Теорема Дирихле.

Условие Дирихле: функция на промежутке [a, b] удовлетворяет условию Дерике, если выполняются 2 условия:

1 на [a, b] или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва первого рода

2 на [a, b] кусочномонотонна

Достаточный признак разложимости функции в тригоном. ряд Фурье. Теорема Дирихле:

Пусть периодическая функция любом конечном промежутке удовлетворяет условию Дерике, тогда тригонометрический ряд, соответствующий этой функции

Сходится на всей числовой оси и имеет своей суммой , причём в точке разрыва функции , значение суммы ряда = среднему арифм. Значений функции слева и справа:

Точек разрыва конечное число=> их мало=> в основном сумма ряда совпадает с и только в точках разрыва получаются различия.

25. тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.

[- ]

Геометрический ряд, коэфф которого определяются по формулам:

(коэффициенты Фурье (2 ))

наз тригонометрическим рядом Фурье

24. приложение степенных рядов: приближённое вычисление значений функции, приближенное вычисление определенных интегралов, решение ДУ с помощью степенных рядов.

Ряд состоит из бесконечного числа членов => непосредственно по этой формуле использовать нельзя => ряд урезают => отбрасывают хвост и ограничиваются первыми n членами ряда.

| |=| |

Y= , с точностью

| |=| |<

Нужно взять столько членов ряда, чтобы погрешность была меньше . остаток ряда равен остаточному члену ряда. a< c< x

------------------------------------------------------------------------------

Если интеграл существуют, но его нельзя вычислить, пользуются разложением в степенной ряд. Степенной ряд можно почленно интегрировать сколько угодно разпо любому промежутку, лежащему в интервале сходимости. Если ряд удовлетворяет признаку Лейбница => погрешность по модулю меньше первого члена остатка.

Метод последовательного дифференцирования:

(с применением ряда Тейлора)

Y'’=f(x, y, y’) задача Коши

Из н у и

Из Y'’=f(x, y, y’) путём дифференцирования находим у'''.

Дальше дифференцируем по х, получаем разложение в ряд Тейлора.

Метод неопределенных коэффициентов:

Y’’+P(x)y’+q(x)y=r(x)

Y(0)=yo задача Коши

Y’(0)=y’o

P(x) и q(x) разложим в ряд по степеням х

Решение тоже будет в виде ряда с неизвестными пока коэффициентами.

Все разложения подставляем в данное ДУ.

Произведение рядов в левой части уравнения умножаются как многочлены. В результате получаем бесконечное разложение по степеням х. в последнем уравнении, содержащем бесконечноее число слогаемых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, в результате получаем бесконечную систему, решая её, находим коэффициенты .раскладываем у в ряд с этими коэффициентами.

23.Разложение и ряд Тейлора-Макларена элементарных функций

22.Разложение функций и степенной ряд. Ряд Тейлора.

Ряд Тейлора:

…

…+

Если а=0, то ряд по степеням х расходится, а ряд Тейлора:

Теорема:

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке а функция , представляла сумму, составленного для неё ряда Тейлора необходимо и достаточно, чтобы ( - остаточный член ряда)

- S(x)= - =0

Чтд

Следствие:

Пусть произведение любых n ограничены | |< k n (a-r; a+r) для

Тогда представляет сумму, составленную для него ряда Тейлора.

Если в имеет производные любых порядков, то:

1. Составим формально ряд Тейлора

…

2. Используя признаки Даламбера/Коши находим интервалы сходимости данного ряда (a-r; a+r)

3. Составим остаточный член ряда и находим то множество Х при котором