Двойственность задачи потребительского выбора

Двойственность заключается в том, что задача максимизации полезности индивида может быть решена 2 способами: 1) мы фиксируем желаемый уровень полезности индивида и находим минимальные затраты, с помощью которых можно достигнуть этого уровня полезности

2) мы фиксируем бюджет потребителя и находим максимальный уровень полезности, который достижим с помощью этого бюджета

Предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Потребитель выбрал уровень полезности u* который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.

На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности u* отыскивается набор товаров с минимальной стоимостью.

Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

Данная задача является задачей нелинейного программирования. Функция Лагранжа имеет вид:

дописать Лямбда

Запишем условия первого порядка:

Отсюда мы получаем условия первого порядка для решения двойственной задачи потребительского выбора.

т.к. лямбда это постоянное число

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя в двойственной постановке.

Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и выбранного потребителем уровня полезности.

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что , то спрос по Хиксу является решением задачи максимизации полезности при ценах и доходе , где e (•) — функция расходов. При этом .

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос является решением задачи минимизации расходов и .