Угол между плоскостями.Усл-я парал-ти и перпенд-ти плоскостей.

Уол между плоскостями. Зададим две плоскости

Мы знаем, что векторы и перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол между и равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение

,

поэтому

Достаточно считать, что .

Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла и Их сумма равна , а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками ()

Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы и коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности

.

Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности

, (18)

то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость.

Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т. е.